《导学案》2021版高中数学(人教A版-必修5)教师用书：2.5等差数列的综合应用-讲义.docx

第5课时　等差数列的综合应用

1.理解并把握等差数列的有关性质.
2.能利用等差数列的性质,结合通项公式、前n项和公式解决数列的综合问题.

重点:等差数列的有关性质.
难点:对性质的机敏应用.

等差数列前n项和公式的推导方法是倒序相加法,其原理是依据等差数列的定义知a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…,你会发觉和式中的两项的下标和都是n+1,在等差数列中还有很多类似的结论和性质.

问题1:(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则　am+an=ap+aq　;(2)若m+n=2k(m,n,k∈N*),则am+an与ak的大小关系为　am+an=2ak　;(3)等差数列的通项公式的变形为　an=am+(n-m)d,d=　. 
问题2:(1)在等差数列{an}中,下标成等差的项组成的新数列仍为等差数列;
(2)若{an},{bn}为项数相同的等差数列,前n项和分别为An和Bn,则{man+kbn}仍为等差数列(其中m,k均为常数),且==;
(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,…也成等差数列,且公差为k2d.
问题3:已知等差数列{an},公差为d,前n项和为Sn.
若项数为偶数,设为2n(n≥2),则:
(1)S2n===　n(an+an+1)　;(即等于中间两项和的n倍) 
(2)设S偶=a2+a4+…+a2n,S奇=a1+a3+…+a2n-1,
则S偶-S奇=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=　nd　; 
(3)== 　.(即等于数列{an}的中间两项之比) 
问题4:{an}为等差数列,d为其公差,Sn为其前n项和.
若项数为奇数,设为2n+1(n≥2),则:
(1)S2n+1===　(2n+1)·an+1　;(即等于中间项的2n+1倍) 
(2)设S奇=a1+a3+…+a2n+1,S偶=a2+a4+…+a2n,
则S奇-S偶=a1+(a3-a2)+(a5-a4)+…+(a2n+1-a2n)=　a1+nd　=　an+1　;(即等于中间项) 
(3)== 　.(即等于项数之比) 

《九章算法》中有一题:“今有竹九节,下三节容四升,上四节容三升,问中间二节欲均奢,各多少”相当于已知等差数列项数为n,a1+a2+…+as=A,at+at+1+…+an=B(s<t),求各项ai.《九章算术》的解法是,先求得公差:d=,假如s或n-t+1中有一个是奇数,则前s项或后n-t+1项的中间一项即可求得:=或=.
由此可求得其余全部项.

1.在等差数列{an}中,若a4+a6=12,Sn是数列{an}的前n项和,则S9的值为(　　).
A.48　　　B.54　　　C.60　　　D.66
【解析】∵a1+a9=a4+a6=12,∴S9==54.
【答案】B
2.在等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为(　　).
A.9 B.12 C.16 D.17
【解析】S4=1,S8-S4=3,而S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,即1,3,5,7,9.
∴a17+a18+a19+a20=S20-S16=9.
【答案】A
3.已知等差数列{an}的公差为2,项数是偶数,全部奇数项之和为15,全部偶数项之和为35,则这个数列的项数为　　　　. 
【解析】由于项数是偶数,所以由题意知a1+a3+…+an-1=15,a2+a4+…+an=35,两式相减得(a2-a1)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=35-15=20,即d=20,所以n===20.
【答案】20
4.在等差数列{an}中,a9=a12+6,求数列的前11项和S11.
【解析】由a9=a12+6得2a9=a12+12,即a6+a12=a12+12,
所以a6=12.
又S11==11a6,
所以S11=11a6=132.

利用等差数列的性质求数列的通项公式
已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=3,SnSn-1=2an(n≥2).求数列{an}的通项公式.
【方法指导】可以把an转化为Sn-Sn-1,从而利用等差数列的定义推断{}是一个等差数列,求出Sn,再求an.
【解析】当n≥2时,SnSn-1=2an⇒SnSn-1=2(Sn-Sn-1),
∴-=-,且=,∴{}是以-为公差的等差数列,其首项为.
∴=-(n-1)=⇒Sn=.
∴当n≥2时,an=SnSn-1=,
当n=1时,=≠a1,
∴an=
【小结】在已知Sn与an的关系式的题型中,往往先写出Sn-1与an-1的关系式,再两式相减,把其中的Sn-Sn-1转化为an来求解;而本题则是把an转化为Sn-Sn-1,从而推断出关于Sn的等差数列求解.选用哪种方法需要因等式的结构而定,但确定要留意分类争辩,即n=1时是否满足.

利用等差数列的性质求和
(1)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,求此数列的前20项的和.
(2)若{an},{bn}都是等差数列,且a1=5,b1=15,a100+b100=100,求数列{an+bn}的前100项之和S100.
(3)已知某等差数列共10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,求其公差.
【方法指导】本题可以利用等差数列以下几共性质:(1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq;(2)若{an},{bn}都为等差数列,则{an+bn}也为等差数列;(3)若项数为偶数,设为2n(n≥2),则S偶-S奇=nd.
【解析】(1)由
两式相加可知(a1+a20)+(a2+a19)+(a3+a18)=54,
∴3(a1+a20)=54,∴a1+a20=18,
∴S20==180.
(2)由题意可知{an+bn}为等差数列,设cn=an+bn,则c1=a1+b1=20,c100=a100+b100=100,
∴S100==50(20+100)=50×120=6000.
(3)由题意知,项数2n=10,∴n=5,S奇=15,S偶=30,
故S偶-S奇=nd,即30-15=5d,∴d=3.
【小结】以上例题都可以用一般的方法(利用通项公式和前n项和公式,通过列方程组)来解决,但相对来说比较繁琐.

构造等差数列的证明与求和
已知数列{an}为等差数列,Sn是数列{an}的前n项和,S7=7,S15=75.
(1)求证:数列{}是等差数列;
(2)求{}的前n项和Tn.
【方法指导】本题考查等差数列的概念及前n项和公式.可先由S7=7,S15=75列出a1与d的方程,解出a1、d,求出Sn,再证明.
【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意得:
Sn=na1+n(n-1)d.
∵S7=7,S15=75,
∴解得
∴=a1+(n-1)d=-2+(n-1),
∴-=,∴{}是首项为-2,公差为的等差数列.
(2)由(1)知{}是首项为-2,公差为的等差数列,
∴其前n项和Tn=n×(-2)+×=n2-n.
【小结】本题(1)的结论有着很广泛的应用,即已知等差数列{an},公差为d,前n项和为Sn,则{}成等差数列,且公差为.

已知等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则数列的前3m项和为　　　　. 
【解析】(法一)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,依据题设和前n项和公式有

②-①得ma1+d=70,
∴S3m=3ma1+d=3[ma1+d]=3×70=210.
(法二)在等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,∴30,70,S3m-100成等差数列,∴2×70=30+S3m-100.
∴S3m=210.
【答案】210

在等差数列{an}中,a1=-2022,其前n项和为Sn,若-=2,则S2022的值等于(　　).
A.-2022　　B.-2022　　C.2022　　D.2022
【解析】S12=12a1+d,S10=10a1+d,所以==a1+d,=a1+d,所以-=d=2,所以S2022=2022a1+d=2022(-2022+2021)=-2022.
【答案】B

已知数列{an}的前n项和为Sn,当n≥2时,点(,)在f(x)=x+2的图象上,且S1=.求数列{an}的通项公式.
【解析】∵点(,)在f(x)=x+2的图象上,
∴-=2(n≥2),∴数列{}是首项为=2,公差为2的等差数列,
∴=2+2(n-1),∴Sn=.
当n=1时,a1=S1=;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-.
∴an=

1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则等于(　　).
A.1　　　　B.-1　　　　C.2　　　　D.
【解析】===2.
【答案】C
2.已知数列{an}的前n项和Sn=,则等于(　　).
A.72 B. C. D.36
【解析】∵a8=S8-S7=-=2(-)=,∴=36.
【答案】D
3.已知等差数列{an}公差d>0,且a1+a3+a5=-12,a1a3a5=80,则{an}的通项公式an=　　　　. 
【解析】由a1+a3+a5=-12,得3a3=-12,∴a3=-4,
由a1a3a5=80,得(-4-2d)×(-4)×(-4+2d)=80,即d2=9,
又d>0,解得d=3,
∴an=a3+(n-3)d=-4+3(n-3)=3n-13.
【答案】3n-13
4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,求使得为整数的正整数n.
【解析】========7+.
即当n=1,2,3,5,11时可满足题意.

(2022年·江西卷)设数列{an},{bn}都是等差数列.若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　. 
【解析】设数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,由于a3+b3=(a1+2d1)+(b1+2d2)=(a1+b1)+2(d1+d2)=7+2(d1+d2)=21,所以d1+d2=7,所以a5+b5=(a3+b3)+2(d1+d2)=21+2×7=35.
【答案】35