【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)阶段性测试题7(不等式).docx
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阶段性测试题七(不等式) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(文)(2021·湖北教学合作联考)已知集合A={x|y=},B={x|≤0},则A∩B=( ) A.[-1,1] B.[-1,2) C.[1,2) D.[-2,-1] [答案] D [解析] 依题意,集合A={x|x≤-1或x≥3},B={x|-2≤x<2},利用集合的运算可得,A∩B={x|-2≤x≤-1},故选D. (理)(2022·辽宁师大附中期中)若不等式x2+ax-2>0在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是( ) A.(-,+∞) B.[-,1] C.(1,+∞) D.(-∞,-] [答案] A [解析] ∵x∈[1,5],∴不等式变形为a>-x+, ∵x∈[1,5]时,y=-x+单调递减,∴y∈[-,1], ∴要使不等式在[1,5]上有解,应有a>-,故选A. 2.(2021·洛阳市期中)已知p:≤2x≤,q:-≤x+≤-2,则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] 由≤2x≤得,-2≤x≤-1; 由-≤x+≤-2,得-2≤x≤-. ∵[-2,-1][-2,-],∴p是q的充分不必要条件. 3.(文)(2022·河南省试验中学期中)若f(x)是偶函数,且当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,则f(x-1)<0的解集是( ) A.{x|-1<x<0} B.{x|x<0或1<x<2} C.{x|0<x<2} D.{x|1<x<2} [答案] C [解析] ∵f(x)为偶函数,且x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1单调递增,且f(1)=0,∴x∈(-∞,0]时,f(x)单调递减,f(-1)=f(1)=0,从而f(x-1)<0化为-1<x-1<1, ∴0<x<2,故选C. (理)(2021·湖南师大附中月考)设函数f(x)=,若f(-4)=f(0),且f(-2)=0,则关于x的不等式f(x)≤1的解集为( ) A.(-∞,-3]∪[-1,+∞) B.[-3,1] C.[-3,-1] D.[-3,-1]∪(0,+∞) [答案] D [解析] 当x≤0时,f(x)=x2+bx+c,且f(-4)=f(0),故其对称轴为x=-=-2,∴b=4; 又f(-2)=0,∴4-8+c=0,∴c=4;因此当x≤0时,f(x)=x2+4x+4; 令f(x)≤1,解得-3≤x≤-1; 当x>0时,f(x)=-2<1,满足条件. 故不等式f(x)≤1的解集为[-3,-1]∪(0,+∞),故选D. 4.(2021·石光中学阶段测试)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则实数a的取值范围是( ) A.a≤0 B.0≤a<2 C.0≤a≤2 D.a>2 [答案] B [解析] 表示的平面区域为阴影部分,要使此区域与x≥a围成一个三角形,应有0≤a<2. 5.(文)(2021·合肥市庐江四中、巢湖四中联考)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 若a>b>0,则|a|>|b|,∴a|a|>b|b|; 若a>0>b,明显a|a|>b|b|; 若0>a>b,则0<-a<-b,∴0<|a|<|b|,∴-a|a|<-b|b|,∴a|a|>b|b|,综上a>b⇒a|a|>b|b|,反之若a|a|>b|b|,亦可得出a>b,故选C. (理)(2021·沈阳市东北育才学校一模)已知<<0,则下列结论错误的是( ) A.a2<b2 B.+>2 C.ab>b2 D.lga2<lg(ab) [答案] C [解析] 由<<0易得b<a<0,两边都乘以b得,b2>ab,∴C错误. 6.(2022·哈六中期中)已知实数x、y表示的平面区域C:则z=2x-y的最大值为( ) A.-1 B.0 C.4 D.5 [答案] D [解析] 作出平面区域C如图,作直线l0:y-2x=0,平移直线l0得l:z=2x-y,当l经过可行域内的点A(2,-1)时, 直线l的纵截距最小,从而z最大,∴zmax=2×2-(-1)=5,故选D. 7.(2021·石家庄五校联合体摸底)若定义在R上的偶函数y=f(x)是[0,+∞)上的递增函数,则不等式f(log2x)<f(-1)的解集是( ) A.(,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.R D.(-2,2) [答案] A [解析] ∵f(x)为偶函数,∴不等式f(log2x)<f(-1)可化为f(|log2x|)<f(1),∵f(x)在[0,+∞)上单调递增, ∴|log2x|<1,∴-1<log2x<1,∴<x<2. 8.(文)(2021·新乡、许昌、平顶山调研)设x、y满足约束条件若目标函数z=ax+by(其中a>0,b>0)的最大值为3,则+的最小值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 [答案] B [解析] 作出可行域如图,∵a>0,b>0,目标函数z=ax+by的最大值为3,∴在点A(1,2)处z取到最大值,∴a+2b=3,∴+=(+)(a+2b)=(5++)≥(5+2)=3,等号成立时a=b=1,故选B. (理)(2022·西安一中期中)设x、y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则+的最大值为( ) A.2 B. C.1 D. [答案] C [解析] ∵x,y∈R,a>1,b>1,且ax=by=3,a+b=2,所以,x=loga3,y=logb3,+=+=log3a+log3b=log3(ab), ∵ab≤()2=3,等号在a=b=时成立, ∴log3(ab)≤log33=1,∴+的最大值为1,故选C. 9.(2021·河南八校联考)x、y满足约束条件若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( ) A.或-1 B.2或 C.2或1 D.2或-1 [答案] D [解析] 作出可行域如图,∵z=y-ax取得最大值的最优解不唯一, ∴直线l:y=ax+z应与l1或l3重合,∴a=-1或2. 10.(2021·宝安中学、潮阳一中、桂城中学摸底)已知O是坐标原点,点A(-1,0),若点M(x,y)为平面区域上的一个动点,则|+|的取值范围是( ) A.[1,] B.[2,] C.[1,2] D.[0,] [答案] A [解析] +=(-1,0)+(x,y)=(x-1,y), 设z=|+|=, 则z的几何意义为M到定点E(1,0)的距离, 由约束条件作出平面区域如图, 由图象可知当M位于D(0,2)时,z取得最大值z==,1≤z≤, 即|+|的取值范围是[1,]. 11.(文)(2022·九江市修水一中第四次月考)已知甲、乙两种不同品牌的PVC管材都可截成A、B、C三种规格的成品配件,且每种PVC管同时截得三种规格的成品个数如下表: A规格成品(个) B规格成品(个) C规格成品(个) 品牌甲(根) 2 1 1 品牌乙(根) 1 1 2 现在至少需要A、B、C三种规格的成品配件分别是6个、5个、6个,若甲、乙两种PVC管材的价格分别是20元/根、15元/根,则完成以上数量的配件所需的最低成本是( ) A.70元 B.75元 C.80元 D.95元 [答案] C [解析] 设需用品牌甲、乙PVC管分别为x根、y根, 依题意得,成本z=20x+15y, 作出可行域如图, 作直线l0:4x+3y=0, ∵-2<-<-1,∴平移l0到经过可行域内的点A时,z取最小值, 由得∴A(1,4), ∴zmin=20×1+15×4=80(元). (理)(2022·文登市期中)已知a>0,x、y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为,则a=( ) A. B. C.1 D.2 [答案] A [解析] 作出不等式组所表示的可行域如下图中阴影部分,联立x=1与y=a(x-3)得点A(1,-2a),作直线l:z=2x+y,则z为直线l在y轴上的截距,当直线l经过可行域上的点A(1,-2a)时,直线l在y轴上的截距最小,此时,z取最小值,即zmin=2×1+(-2a)=2-2a=,解得a=,故选A. 12.(文)(2021·湖北武汉调研)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△AFO与△BFO面积之和的最小值是( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 由题意,设A(a2,a),B(b2,b),(ab<0), ∴·=a2b2+ab=2⇒ab=-2, 又∵F为抛物线y2=x的焦点,∴F(,0), ∴S△AFO+S△BFO=××|b-a|, ∵|b-a|2=a2+b2-2ab≥-2ab-2ab=-4ab=8,当且仅当a=-b时,等号成立,∴|b-a|min=2. ∴(S△AFO+S△BFO)min=. (理)(2021·韶关市十校联考)设M是△ABC内一点,且·=2,∠BAC=30°.定义f(M)=(m,n,p),其中m,n,p分别是△MBC,△MCA,△MAB的面积.若f(p)=(,x,y),则log2x+log2y的最大值是( ) A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 [答案] B [解析] ∵·=||·||·cos∠BAC=||·||=2,∴||·||=4, ∴S△ABC=AB·AC·sin∠BAC=×4×=1, ∵f(p)=(,x,y),∴+x+y=1,∴x+y=, ∵x>0,y>0,∴log2x+log2y=log2(xy)≤log2()2=log2()2=-4,故选B. 第Ⅱ卷(非选择题 共90分) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上.) 13.(2022·合肥八中联考)设函数f(x)=,若f(x0)>1,则x0的取值范围是________. [答案] (-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] 当x0≤0时,f(x0)>1化为2-x0-1>1,∴x0<-1;当x0>0时,f(x0)>1化为x0>1,∴x0>1. ∴不等式f(x0)>1的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 14.(文)(2022·九江市修水一中第四次月考)已知x>0,y>0,xy=x+2y,则xy的最小值是________. [答案] 8 [解析] ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2, 由xy≥2得xy≥8,等号成立时x=4,y=2. ∴xy的最小值是8. (理)(2021·山东师大附中模拟)已知x>0,y>0,若+≥m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是________. [答案] -4≤m≤2 [解析] 由于x>0,y>0,所以由基本不等式知,+≥2=8,当且仅当=, 即y=2x时等号成立,问题+≥m2+2m恒成立转化为(+)min≥m2+2m,即8≥m2+2m,解此一元二次不等式得,-4≤m≤2. 15.(文)(2022·泉州试验中学期中)已知x、y满足且目标函数z=3x+y的最小值是5,则z的最大值是________. [答案] 10 [解析] 先画出不等式组表示的平面区域,再作c=0时,直线l:y=2x-c,然后平移l,由于目标函数z=3x+y有最小值,∴c<0,∴可行域为图中阴影部分,考虑直线l0:y=-3x,平移l0,只有当l0平移到经过点A时,z=3x+y取到最小值5,故由得A(2,-1), ∵A在直线l上,∴c=5, 由解得B(3,1),当l0平移到经过点B时zmax=3×3+1=10. (理)(2021·东北育才学校一模)实数x,y满足若目标函数z=x+y的最大值为4,则实数a的值为________. [答案] 2 [解析] 画出可行域,由目标函数的最大值为4,可知目标函数经过(a,a)点时达到最大值,∴a+a=4,∴a=2. 16.(文)(2021·湖北教学合作联考)已知偶函数f(x)在(-∞,0]上满足:当x1,x2∈(-∞,0]且x1≠x2时,总有<0,则不等式f(x-1)<f(x)的解集为________. [答案] {x∈R|x>} [解析] 依题意,偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,∵f(x)为偶函数, ∴不等式f(x-1)<f(x)化为f(|x-1|)<f(|x|), ∴|x-1|<|x|,∴x2-2x+1<x2,∴x>. (理)(2021·焦作市期中)定义在R上的函数f(x)满足:f(1)=1,且对于任意的x∈R,都有f ′(x)<,则不等式f(lnx)>的解集为________. [答案] (0,e) [解析] 令t=lnx,则不等式f(lnx)>化为f(t)>, 令F(t)=f(t)--,则F(1)=f(1)--=0, F′(t)=f ′(t)-<0,∴F(t)为减函数, ∴F(t)>0的解为t<1. ∴lnx<1,∴0<x<e. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)(文)(2021·娄底市名校联考)为了疼惜环境,进展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,接受了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为:y=x2-200x+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元. (1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?假如获利,求出最大利润;假如不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损? [解析] (1)由题意可知,二氧化碳的每吨平均处理成本为: =x+-200≥2-200=200, 当且仅当x=,即x=400时, 才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元. (2)设该单位每月获利为S, 则S=100x-y =100x-(x2-200x+80000)=-x2+300x-80000 =-(x-300)2-35000, 由于400≤x≤600,所以当x=400时,S有最大值-40000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40000元,才能不亏损. (理)(2021·黄冈中学月考)北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,某公司为了竞标配套活动的相关代言,打算对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元,年销售8万件. (1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应削减2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住申奥契机,扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司打算马上对该商品进行全面技术革新和营销策略改革,并提高定价到x元.公司拟投入(x2-600)万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣扬费用,投入万元作为浮动宣扬费用.试问:当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. [解析] (1)设每件定价为t元,依题意得[80000-(t-25)×2000]t≥25×80000, 整理得t2-65t+1000≤0,解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元. (2)依题意知,当x>25时,不等式ax≥25×8+50+(x2-600)+x有解,等价于x>25时,a≥+x+有解. 由于+x≥2=10,当且仅当=,即x=30时等号成立,所以a≥10.2. 当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元. 18.(本小题满分12分)(文)(2022·吉林延边州质检)已知函数f(x)=-x2+2x-aex. (1)若a=1,求f(x)在x=1处的切线方程; (2)若f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围. [解析] (1)由a=1,得f(x)=-x2+2x-ex,f(1)=-e, 所以f ′(x)=-x+2-ex,f ′(1)=1-e, 所以所求切线方程为y-(-e)=(1-e)(x-1), 即2(1-e)x-2y+1=0. (2)由已知f(x)=-x2+2x-aex,得f ′(x)=-x+2-aex, 由于函数f(x)在R上是增函数,所以f ′(x)≥0恒成立, 即不等式-x+2-aex≥0恒成立,整理得a≤, 令g(x)=,∴g′(x)=. 当x∈(-∞,3)时,g′(x)<0,所以g(x)是递减函数, 当x∈(3,+∞)时,g′(x)>0,所以g(x)是递增函数, 由此得g(x)min=g(3)=-e-3, 即a的取值范围是(-∞,-e-3]. (理)(2022·合肥八中联考)已知函数f(x)=ax+a-1+xlnx. (1)求f(x)的单调区间; (2)已知函数有微小值-e-2.若k∈Z,且f(x)-k(x-1)>0对任意x∈(1,+∞)恒成立,求k的最大值. [解析] (1)f ′(x)=a+1+lnx, 令f ′(x)>0⇒x>e-a-1, 令f ′(x)<0⇒0<x<e-a-1, ∴(0,e-a-1)是f(x)的单调减区间,(e-a-1,+∞)是f(x)的单调增区间. (2)由(1)知f(x)的微小值为f(e-a-1)=a-1-e-a-1=-e-2, 令t(a)=a-1-e-a-1,则t′(a)=1+e-a-1>0, 所以t(a)是(-∞,+∞)上的增函数, 留意到t(1)=-e-2,∴a=1. 当x>1时,令g(x)==, ∴g′(x)=, 令h(x)=x-2-lnx,∴h′(x)=1-=>0, 故y=h(x)在(1,+∞)上是增函数, 由于h(3)=1-ln3<0,h(4)=2-ln4>0, ∴存在x0∈(3,4),使得h(x0)=0. 则x∈(1,x0)时,h(x)<0,g′(x)<0,知g(x)在(1,x0)上为减函数; x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,g′(x)>0,知g(x)在(x0,+∞)上为增函数. ∴g(x)min=g(x0)=,留意到lnx0=x0-2, ∴g(x)min=x0,∴k<x0, 又x0∈(3,4),k∈Z,所以kmax=3. 19.(本小题满分12分)(2021·唐山市海港高级中学月考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)对任意正数m,n都有f(mn)=f(m)+f(n)-,当x>4时,f(x)>,且f()=0. (1)求f(2)的值; (2)解关于x的不等式f(x)+f(x+3)>2. [解析] (1)令m=n=1得,f(1)=f(1)+f(1)-,所以f(1)=,令m=2,n=得,f(2×)=f(2)+f()-,解得f(2)=1. (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=f()-=f(·)-=f()+f()-1. 由于f()=f()+f()-=-,且由>4得f()>. 所以f(x2)-f(x1)>--1=0,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. 由于f(4)=f(2)+f(2)-=,所以f(x)+f(x+3)=f(x2+3x)+>2. 即f(x2+3x)>=f(4).所以 解得x∈(1,+∞). 20.(本小题满分12分)(文)(2022·江西临川十中期中)已知f(x)=. (1)若关于x的方程f(x)=0有小于0的两个实根,求a的取值范围; (2)解关于x的不等式f(x)>2(其中a>1). [解析] (1)方程f(x)=0有小于0的两个实根,等价于方程x(x-a+1)+a-4=0有小于0的两个实根,即方程x2-(a-1)x+a-4=0有小于0的两个实根, ∴∴∴a∈∅. (2)由f(x)>2得,>0, ∴>0, ∴(x-a)(x-1)(x-2)>0, 由于a>1,于是有: ①当1<a<2时,不等式的解集为{x|1<x<a或x>2}; ②当a>2时,不等式的解集为{x|1<x<2或x>a}; ③当a=2时,不等式的解集为{x|x>1或x≠2}. (理)(2021·湖北教学合作联考)据气象中心观看和猜想:已知发生于沿海M地的台风向正南方向移动,其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内台风所经过的路程s(km). (1)当t=4时,求s的值,并将s随t变化的规律用数学关系式表示出来; (2)若N城位于M地正南方向,且距N地650km,试推断这场台风是否会侵袭到N城,假如会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城?假如不会,请说明理由. [解析] (1)由图象可知, 直线OA的方程是:v=3t,直线BC的方程是:v=-2t+70, 当t=4时,v=12,所以s=×4×12=24. 当0≤t≤10时,s=×t×3t=t2; 当10<t≤20时,s=×10×30+(t-10)×30=30t-150; 当20<t≤35时,s=150+300+×(t-20)×(-2t+70+30)=-t2+70t+550. 综上可知s随t变化的规律是 s= (2)当t∈[0,10]时, smax=×102=150<650, 当t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650, 当t∈(20,35]时,令-t2+70t+550=650,解得t=30,(t=40舍去) 即在台风发生后30小时后将侵袭到N城. 21.(本小题满分12分)(文)(2021·庐江四中、巢湖四中联考)已知函数f(x)=2lnx-ax+a(a∈R). (1)争辩f(x)的单调性; (2)试确定a的值,使不等式f(x)≤0恒成立. [解析] (1)f ′(x)=,x>0. 若a≤0,f ′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增; 若a>0,当x∈(0,)时,f ′(x)>0,f(x)单调递增; 当x∈(,+∞)时,f ′(x)<0,f(x)单调递减. (2)由(1)知,若a≤0,f(x)在(0,+∞)上递增, 又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立. 若a>2,当x∈(,1)时,f(x)递减,f(x)>f(1)=0,不合题意. 若0<a<2,当x∈(1,)时,f(x)递增,f(x)>f(1)=0,不合题意. 若a=2,f(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, f(x)≤f(1)=0符合题意, 综上a=2. (理)(2021·洛阳市期中)已知函数f(x)=x2-ex3+ex(x-1)(其中e为自然对数的底数),记f(x)的导函数为f ′(x). (1)求函数y=f(x)的单调区间; (2)求证:当x>0时,不等式f ′(x)≥1+lnx恒成立. [解析] (1)由f(x)=x2-ex3+ex(x-1)得f ′(x)=x(ex-ex+1), 令h(x)=ex-ex+1,则h′(x)=ex-e, 当x∈(-∞,1)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)是增函数; 所以,h(x)≥h(1)=1>0. 故当x∈(0,+∞)时,f ′(x)>0,当x∈(-∞,0)时,f ′(x)<0, 即f(x)的增区间是(0,+∞),减区间是(-∞,0). (2)当x>0时,不等式f ′(x)≥1+lnx恒成立等价于ex-ex+1≥, 由(1)知,ex-ex+1≥1, 令φ(x)=,则φ′(x)=-, 在区间(0,1)上,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 在区间(1,+∞)上,φ′(x)<0,φ(x)是减函数; ∴φ(x)≤φ(1)=1, 从而ex-ex+1≥,即f ′(x)≥1+lnx恒成立. 22.(本小题满分14分)(文)(2021·东北育才学校一模)已 知函数f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex(其中a∈R). (1)若x=0为f(x)的极值点,求a的值; (2)在(1)的条件下,解不等式f(x)>(x-1)(x2+x+1). [解析] (1)∵f(x)=[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex, ∴f ′(x)=[2ax+(a-1)2]ex+[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]ex =[ax2+(a2+1)x+a]ex, ∵x=0为f(x)的极值点,∴由f ′(0)=ae0=0,解得a=0. 检验,当a=0时,f ′(x)=xex,当x<0时,f ′(x)<0,当x>0时,f ′(x)>0. 所以x=0为f(x)的极值点,故a=0. (2)当a=0时,不等式f(x)>(x-1)(x2+x+1) ⇔(x-1)ex>(x-1)(x2+x+1), 整理得(x-1)[ex-(x2+x+1)]>0, 即或 令g(x)=ex-(x2+x+1),h(x)=g′(x)=ex-(x+1),h′(x)=ex-1, 当x>0时,h′(x)=ex-1>0;当x<0时,h′(x)=ex-1<0, 所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以h(x)>h(0)=0,即g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,而g(0)=0; 故ex-(x2+x+1)>0⇔x>0;ex-(x2+x+1)<0⇔x<0, 所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1}. (理)(2021·滕州一中月考)已知函数f(x)=a(x-1)2+lnx+1. (1)当a=-时,求函数f(x)的极值; (2)若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数,求实数a的取值范围; (3)当x∈[1,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在所表示的平面区域内,求实数a的取值范围. [解析] (1)当a=-时,f(x)=-(x-1)2+lnx+1=-x2+x+lnx+(x>0), f ′(x)=-x++=-(x>0), 由f ′(x)>0解得,0<x<2;由f ′(x)<0解得x>2, 故当0<x<2时,f(x)单调递增;当x>2时,f(x)单调递减, ∴当x=2时,函数f(x)取得极大值f(2)=+ln2无微小值. (2)f ′(x)=2a(x-1)+,∵函数f(x)在区间[2,4]上单调递减, ∴f ′(x)=2a(x-1)+≤0在区间[2,4]上恒成立,即2a≤在[2,4]上恒成立, 只需2a不大于在[2,4]上的最小值即可. 而=(2≤x≤4),则当2≤x≤4时,∈[-,-], ∴2a≤-,即a≤-,故实数a的取值范围是(-∞,-]. (3)因f(x)图象上的点在所表示的平面区域内, 即当x∈[1,+∞)时,不等式f(x)≤x恒成立,即a(x-1)2+lnx-x+1≤0恒成立, 设g(x)=a(x-1)2+lnx-x+1(x≥1),只需g(x)max≤0即可. 由g′(x)=2a(x-1)+-1=, (ⅰ)当a=0时,g′(x)=,当x>1时,g′(x)<0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(1)=0成立. (ⅱ)当a>0时,由g′(x)==,令g′(x)=0,得x1=1或x2=, ①若<1,即a>时,在区间(1,+∞)上,g′(x)>0,函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,函数g(x)在[1,+∞)上无最大值,不满足条件; ②若≥1,即0<a≤时,函数g(x)在(1,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,同样g(x)在[1,+∞)无最大值,不满足条件. (ⅲ)当a<0时,由g′(x)=,因x∈(1,+∞),故g′(x)<0,则函数g(x)在(1,+∞)上单调递减,故g(x)≤g(1)=0成立. 综上所述,实数a的取值范围是(-∞,0].- 配套讲稿:
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