江苏省扬州中学2022届高三上学期10月月考试题-数学(文)-Word版含答案.docx

江苏省扬州中学高三数学(文科)月考试卷
2021.10
数　学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）
1、已知集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|lg(2x＋1)＞0}，则M∩N＝ ．
2、复数z＝为纯虚数，则实数a的值为 ．
3、抛物线的焦点到准线的距离是 ．
4、“”是“”的 条件．
5、向量(1,2)、(－3,2)，若()∥()，则实数k＝_________．
6、已知m为任意实数，则直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必过定点_________．
7、若关于x的方程cos2x＋4sinx－a＝0有解，则实数a的取值范围是 ．
8、将y＝sin2x的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点，则φ的最小值为_______．
9、若函数f (x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是_________．
10、已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
11、已知△ABC是等边三角形，有一点D满足＋＝，且||＝，
那么·＝ ．
12、已知椭圆的左右焦点分别为，点 P是椭圆上某一点，椭圆的左准线为，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是
13、已知函数f (x)＝，若x1, x2∈R，x1≠x2，使得f (x1)＝f (x2)成立，则实数a的取值范围是 ．

14、已知函数f (x)满足f (x)＝f ()，当x∈[1,3]时，f (x)＝lnx，若在区间[,3]内，函数g(x)＝f (x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15、（本小题满分14分）
已知直线和．
问：m为何值时，有：（1）； （2）．

16、（本小题满分14分）
已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M，且与x轴两个相邻的交点的距离为π．
（1）求f (x)的解析式；
（2）在△ABC中，a＝13，f (A)＝，f (B)＝，求△ABC的面积．

17、（本小题满分15分）
已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120º，当k为何值时，
（1）ka－b与a－kb垂直；
（2）|ka－2b|取得最小值？并求出最小值．

18、（本小题满分15分）
如图①，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．
（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km．现打算利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．
（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值．

19、（本小题满分16分）
已知椭圆的两个焦点为，离心率为 ，点是椭圆上某一点，的周长为，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，设直线的斜率为（），求全部满足要求的．

20、（本小题满分16分）
已知a为实数，函数f (x)＝a·lnx＋x2－4x．
（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；
（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（3）设g(x)＝2alnx＋x2－5x－，若存在x0∈[1, e]，使得f (x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．

高三数学(文科)月考试卷 答案2021.10.6
1、(0,1) 2、1 3、 4、充分不必要” 5、－
6、 (9,－4) 7、[－4,4] 8、 9、[,＋∞) 10、4
11、3 12、 13、 (－∞,4) 14、,
15、解：（1）∵，∴，得或；
当m＝4时，l1：6x＋7y－5＝0，l2：6x＋7y＝5,即l1与l2重合，故舍去．
当时，即
∴当时，． ………7分
（2）由得或；
∴当或时，． ………14分
16、解：（1）依题意知，T＝2π，∴ω＝1，∴f (x)＝sin(x＋φ)
∵f ()＝sin(＋φ)＝，且0＜φ＜π ∴＜＋φ＜ ∴＋φ＝ 即φ＝
∴f (x)＝sin＝cosx． ………6分
（2）∵f (A)＝cosA＝，f (B)＝cosB＝， ∴A,B∈(0,)
∴sinA＝，sinB＝ ………8分
∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ ………10分
∵在△ABC中＝ ∴b＝15. ………12分
∴S△ABC＝absinC＝×13×15×＝84． ………14分
17、解：（1）∵ka－b与a－kb垂直，∴(ka－b)·(a－kb)＝0．
∴ka2－k2a·b－b·a＋kb2＝0．∴9k－(k2＋1)×3×2·cos120°＋4k＝0．
∴3k2＋13k＋3＝0．∴k＝． ………7分
（2）∵|ka－2b|2＝k2a2－4ka·b＋4b2＝9k2－4k×3×2·cos120°＋4×4
＝9k2＋12k＋16＝(3k＋2)2＋12．
∴当k＝－时，|ka－2b|取得最小值为2． ………15分
18、解：（1）由已知可得△ABC为等边三角形，∵AD⊥CD，∴水下电缆的最短线路为CD.过D作DE⊥AB于E，可知地下电缆的最短线路为DE、AB. ………3分
又CD＝1，DE＝，AB＝2，故该方案的总费用为
1×4＋×2＋2×0.5＝5＋ （万元）． …………6分
（2）∵∠DCE＝θ (0≤θ≤)
∴CE＝EB＝，ED＝tanθ，AE＝－tanθ.
则y＝×4＋×2＋(－tanθ)×2＝2×＋2 ……9分
令f (θ)＝ (0≤θ≤)
则f ¢(θ)＝＝ ，……11分
∵0≤θ≤，∴0≤sinθ≤，记sinθ0＝，θ0∈(0,)
当0≤θ＜θ0时，0≤sinθ＜，∴f ¢(θ)＜0
当θ0＜θ≤时，＜sinθ≤，∴f ¢(θ)＞0
∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0,]上单调递增．……13分
∴f (θ)min＝f (θ0)＝＝2，从而ymin＝4＋2，此时ED＝tanθ0＝，
答：施工总费用的最小值为（4＋2）万元，其中ED＝. ……15分
19、解：（1）由题意得，
椭圆的标准方程为： ---------------------6分
（2）设的直线方程为设，（不妨设）
由得，
----------------------8分

由得，即，即或
注：求出给2分
20、解：（1）函数f (x)定义域为(0,＋∞)，f ¢(x)＝＋2x－4＝
假设存在实数a，使f (x)在x＝1处取极值，则f ¢(1)＝0，∴a＝2， ……2分
此时，f ¢(x)＝，
∴当0＜x＜1时，f ¢(x)＞0，f (x)递增；当x＞1时，f ¢(x)＞0，f (x)递增．
∴x＝1不是f (x)的极值点．
故不存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值． ………4分
（2）f ¢(x)＝＝，
①当a≥2时，∴f ¢(x)≥0，∴f (x)在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分
②当a＜2时，令f ¢(x)＞0，则x＞1＋或x＜1－，
∴f (x)在(1＋,＋∞)上递增，
∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋＜3，解得：6＜a＜2
综上，a＞－6． ………10分
（3）在[1,e]上存在一点x0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．
有
①当，即时， 在上单调递减，
所以的最小值为，由可得，
由于，所以； ………12分
②当，即时，在上单调递增，
所以最小值为，由可得； ………14分
③当，即时，可得最小值为，
由于，所以， ，
故 此时不存在使成立．
综上可得所求的范围是：或． ………16分
解法二：由题意得，存在x∈[1, e]，使得a(lnx－)＞x＋成立．
令m(x)＝lnx－，∵m(x)在[1, e]上单调递增，且m(1)＝－1＜0, m(e)＝1－＞0
故存在x1∈(1,e)，使得x∈[1, x1)时，m(x)＜0；x∈(x1, e]时，m(x)＞0
故存在x∈[1, x1)时，使得a＜成立，·························(☆)
或存在x∈(x1, e]时，使得a＞成立，·························(☆☆) ………12分
记函数F(x)＝，F ¢(x)＝
当1＜x≤e时，(x2－1)lnx－(x＋1)2＝(x2－1)·
∵G(x)＝lnx－＝lnx－－1递增，且G(e)＝－＜0
∴当1＜x≤e时，(x2－1)lnx－(x＋1)2＜0，即F ¢(x)＜0
∴F(x)在[1, x1)上单调递减，在(x1, e]上也是单调递减， ………14分
∴由条件(☆)得：a＜F(x)max＝F(1)＝－2
由条件(☆☆)得：a＞F(x)min＝F(e)＝
综上可得，a＞或a＜－2． ………16分