2022届高三物理大一轮复习-第5章-第3节-机械能守恒定律-教学讲义-.docx

第三节　机械能守恒定律

[同学用书P89]

一、重力势能

1．定义：物体的重力势能等于它所受重力与高度的乘积．
2．公式：Ep＝mgh.
3．矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小．
4．特点
(1)系统性：重力势能是地球和物体共有的．
(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关．重力势能的变化是确定的，与参考平面的选取无关．
5．重力做功与重力势能变化的关系
重力做正功时，重力势能减小； 重力做负功时，重力势能增大；重力做多少正(负)功，重力势能就减小(增大)多少，即WG＝Ep1－Ep2.
　1.(单选)(2021·太原质检)将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处，在这个过程中，下列说法中正确的是(取g＝10 m/s2)(　　)
A．重力做正功，重力势能增加1.0×104 J
B．重力做正功，重力势能削减1.0×104 J
C．重力做负功，重力势能增加1.0×104 J
D．重力做负功，重力势能削减1.0×104 J
答案：C
二、弹性势能
1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．
2．大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大．
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增大．
　2.(单选)(2021·杭州模拟)如图所示在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧的弹性势能渐渐削减
B．物体的机械能不变
C．弹簧的弹性势能先增加后削减
D．弹簧的弹性势能先削减后增加
答案：D
三、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式
(1)守恒观点：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(要选零势能参考平面)．
(2)转化观点：ΔEk＝－ΔEp(不用选零势能参考平面)．
(3)转移观点：ΔEA增＝ΔEB减(不用选零势能参考平面)．
3．机械能守恒的条件
只有重力(或弹力)做功或虽有其他外力做功但其他力做功的代数和为零．

　3.(单选)(2021·云南昆明三中、玉溪一中统考)如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的小球，小球与一轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，已知杆与水平面之间的夹角θ<45°，当小球位于B点时，弹簧与杆垂直，此时
弹簧处于原长．现让小球自C点由静止释放，在小球滑到杆底端的整个过程中，关于小球的动能、重力势能和弹簧的弹性势能，下列说法正确的是(　　)

A．小球的动能与重力势能之和保持不变
B．小球的动能与重力势能之和先增大后减小
C．小球的动能与弹簧的弹性势能之和保持不变
D．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和保持不变
答案：B

考点一　机械能守恒的推断方法　 [同学用书P90]
1．利用机械能的定义推断(直接推断)：分析动能和势能的和是否变化．
2．用做功推断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
3．用能量转化来推断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．
　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的推断正确的是(　　)

A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
[解析]　甲图中无论火箭匀速上升还是加速上升，由于有推力做功，机械能增加，因而机械能不守恒．
乙图中拉力F做功，机械能不守恒．
丙图中，小球受到的全部力都不做功，机械能守恒．
丁图中，弹簧的弹力做功，弹簧的弹性势能转化为两小车的动能，两小车与弹簧组成的系统机械能守恒．
[答案]　CD
[总结提升]　(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力做功”不等于 “只受重力作用”．
(2)分析机械能是否守恒时，必需明确要争辩的系统．
(3)只要涉及滑动摩擦力做功，机械能确定不守恒．对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等状况，除非题目特殊说明，否则机械能必定不守恒．
　1.(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．小球的机械能守恒
B．小球的机械能削减
C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变
D．小球与弹簧组成的系统机械能守恒
解析：选BD.小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能削减，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球削减的重力势能，等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确．

考点二　机械能守恒定律及应用　 [同学用书P90]

1．三种表达式的选择
假如系统(除地球外)只有一个物体，用守恒观点列方程较便利；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化或转移的观点列方程较简便．
2．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)选取争辩对象
(2)分析受力状况和各力做功状况，确定是否符合机械能守恒条件．
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化状况．
(4)选择合适的表达式列出方程，进行求解．
(5)对计算结果进行必要的争辩和说明．
　(2021·长春调研)如图所示，左侧为一个半径为R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O点为球心，碗的内表面及碗口光滑．右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°.一根不行伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为质点的小球m1和m2，且m1＞m2.开头时m1恰在右端碗口水平直径A处，m2在斜面上且距离斜面顶端足够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直．当m1由静止释放运动到圆心O的正下方B点时细绳突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失．

(1)求小球m2沿斜面上升的最大距离x；
(2)若已知细绳断开后小球m1沿碗的内侧上升的最大高度为，求.
[审题突破]　(1)m1到达B点时，两球速度大小有何关系？
(2)从开头到绳断，两球高度变化各为多少？
[解析]　(1)设重力加速度为g，小球m1到达最低点B时m1、m2的速度大小分别为v1、v2，由运动的合成与分解得v1＝v2①
对m1、m2系统由机械能守恒定律得
m1gR－m2gh＝m1v＋m2v②
由几何关系得h＝Rsin 30°③
设细绳断后m2沿斜面上升的距离为x′，对m2由机械能守恒定律得m2gx′sin 30°＝m2v－0④
小球m2沿斜面上升的最大距离x＝R＋x′⑤
联立得x＝R.⑥

(2)对小球m1，由机械能守恒定律得
m1v＝m1g·⑦
联立①②③⑦式得＝.
[答案]　(1)R　(2)
[总结提升]　(1)应用机械能守恒定律解题时，要正确选择系统和过程．
(2)对于通过绳或杆连接的多个物体组成的系统，留意找物体间的速度关系和高度变化关系．
(3)链条、液柱类不能看做质点的物体，要按重心位置确定高度．
　2.(单选)(2021·武汉武昌区联考)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方，距离A为d.现将环从A点由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)

A．环到达B点时，重物上升的高度h＝
B．环到达B点时，环与重物的速度大小之比为
C．环从A点到B点，环削减的机械能大于重物增加的机械能
D．环能下降的最大高度为
解析：选D.环到达B点时，重物上升的高度为(－1)d，A错误；环运动到B点时，速度与绳不共线，需要分解环的速度，沿绳子和垂直绳子的方向进行分解，而沿绳子方向的速度即为重物的速度，两者之比为，故B错误；以环和重物为争辩对象，机械能守恒，故环从A点到B点，环削减的机械能等于重物增加的机械能，C错误；当环到达最低点时速度为零，此时环减小的重力势能等于重物增加的重力势能，设环下降的最大高度为h，因而有mgh＝2mg(－d)，解得h＝，D正确．

[同学用书P91]

方法技巧——机械能守恒定律和动能定理的综合应用

在求解多个物体组成的系统的内力做功时，一般先对系统应用机械能守恒定律，再对其中的一个物体应用动能定理．
　如图甲所示，质量都为m＝1 kg的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上．细线长L＝0.4 m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上都由静止释放，求从开头运动到使细线与水平方向成θ＝30°角的过程中，细线对A、B做的功．(g取10 m/s2)．

[审题点睛]　(1)两环与细线组成的系统机械能是否守恒？
(2)两环在末态时的速度关系？
(3)细线拉力对环做的功属于变力做功，如何求解？
[解析]　设当两环运动到使细线与水平方向成θ＝30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线和垂直细线方向分解，如图乙所示，由分析知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v2相等．所以有
vAsin θ＝vBcos θ①
在这一过程中A下降的高度为Lsin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有
mgLsin θ＝mv＋mv②
由①②代入数值得：vA＝ m/s，vB＝1 m/s.
设细线对A、B环做功分别为WA、WB，由动能定理得：
mgLsin θ＋WA＝mv－0③
WB＝mv－0④
由③④代入数值解得：WA＝－0.5 J，WB＝0.5 J.
[答案]　－0.5 J　0.5 J
[总结提升]　对通过细线(细杆)连接的物体系统，细线(细杆)对两物体做的功大小相等、符号相反，即对系统做的总功为零，其效果是使机械能在系统内发生转移．
　3.(原创题)如图所示，一轻杆两端分别固定质量均为m的小球A和B，放置于光滑半径为R的半圆轨道中，A球与圆心等高，B球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在两球达到最大速度的过程中，轻杆对B球做的功．

解析：当杆处于水平状态时，系统重心最低，两球速度最大，A球下降的高度ΔhA＝R·cos 45°，
B球上升的高度ΔhB＝R(1－cos 45°)
由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为v.
由机械能守恒得：
mgΔhA＝mgΔhB＋·2mv2
解得：v＝
对B球分析，由动能定理得
W－mgΔhB＝mv2－0
解得：W＝mgR.
答案：mgR
[同学用书P92]

1.(单选)(2021·江苏无锡模拟)如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球重力势能削减量等于斜劈动能的增加量
解析：选B.不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确，C、D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移间夹角大于90°，故弹力做负功，A错误．
2．(多选)(2021·湖南长沙一中月考)一个高尔夫球静止于平坦的地面上，在t＝0时球被击出，飞行中球的速率与时间的关系如图所示．若不计空气阻力的影响，依据图象供应的信息可以求出(　　)

A．高尔夫球在何时落地
B．高尔夫球可上升的最大高度
C．人击球时对高尔夫球做的功
D．高尔夫球落地时离击球点的距离
解析：选ABD.球刚被击出时速度为v0＝31 m/s，依据机械能守恒，球到达最高点时重力势能最大，动能最小，所以v＝19 m/s时球处于最高点，由mv＝mgh＋mv2，可求出最大高度为30 m，B项正确．仍依据机械能守恒知，球落地时速率与击出时速率相等，所以高尔夫球5 s时落地，A项正确．争辩击球过程，依据动能定理，人做的功W＝mv，由于m未知，所以求不出W，C项错误．争辩球的水平分运动，由x＝vxt，其中vx＝19 m/s，t＝5 s，可求得x＝95 m，D项正确．
3．(单选)(2021·辽宁五校协作体联考)如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手把握住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开头时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是(　　)

A．斜面倾角α＝60°
B．A获得的最大速度为2g
C．C刚离开地面时，B的加速度最大
D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒
解析：选B.释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时，拉力等于A的重力沿斜面的分力4mgsin α，C恰好离开地面，轻质弹簧弹力等于C球重力，kx＝mg.对B，由平衡条件，4mgsin α＝2mg，解得斜面倾角α＝30°，选项A错误．初状态，弹簧压缩，kx＝mg，末状态，弹簧拉伸，kx＝mg.初末状态弹簧弹性势能相等，由机械能守恒定律，4mg·2xsin α－mg·2x＝(m＋4m)v2，解得v＝2g，选项B正确．C刚离开地面时，B的加速度为零，选项C错误；从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B、C和弹簧组成的系统机械能守恒，选项D错误．

4．(单选)(2021·南昌调研)如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面的高度为h，不计小球与弹簧碰撞过程中的能量损失，则小球在C点时弹簧的弹性势能为(　　)

A．mgh－mv2　　　　　 B.mv2－mgh
C．mgh＋mv2 D．mgh
解析：选B.由题意可知，在小球运动过程中，小球与弹簧整体的机械能守恒，由机械能守恒定律可得mv2＝Ep＋mgh，对比各选项可知，答案选B.

5．(单选)如图所示，可视为质点的小球A、B用不行伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)

A．2R　　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选C.设A、B的质量分别为2m、m，当A落到地面上时，B恰好运动到与圆柱轴心等高处，以A、B整体为争辩对象，则A、B组成的系统机械能守恒，故有2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，A落到地面上以后，B仍以速度v竖直上抛，上升的高度为h＝，解得h＝R，故B上升的总高度为R＋h＝R，选项C正确．
6．(多选)(2021·高考广东卷)如图所示，游乐场中，从一高度A到水面B处有两条长度相同的光滑轨道．甲、乙两小孩沿不同轨道同时从A处自由滑向B处，下列说法正确的是(　　)

A．甲的切向加速度始终比乙的大
B．甲、乙在同一高度的速度大小相等
C．甲、乙在同一时刻总能到达同一高度
D．甲比乙先到达B处
解析：选BD.设某一时刻轨道切线的倾角为θ，则这时的加速度为gsin θ，由于甲轨道切线的倾角并不是都比乙的大，故选项A错误；依据机械能守恒定律，有mgh＝mv2，故在同一高度甲、乙的速度大小相等，选项B正确；开头时甲的切向加速度比乙的大，且这个加速度在竖直方向的分加速度也大，因此开头时甲在竖直方向的分运动比乙在竖直方向的分运动快，则选项C错误；作出甲、乙运动的速率—时间图象，如图所示，依据图象可知，甲先到达B点，选项D正确．

一、单项选择题
1.(2021·长沙模拟)如图所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开头运动过程中(　　)

A．M、m各自的机械能分别守恒
B．M削减的机械能等于m增加的机械能
C．M削减的重力势能等于m增加的重力势能
D．M削减的重力势能等于m增加的重力势能与动能之和
答案：B
2.(2021·德州模拟)如图所示，用长为L的轻绳把一个小铁球悬挂在高为2L的O点处，小铁球以O为圆心在竖直平面内做圆周运动且恰能到达最高点B处，不计空气阻力．若运动中轻绳断开，则小铁球落到地面时的速度大小为(　　)

A.　　　　　　　　 B.
C. D.
解析：选D.小铁球恰能到达最高点B，则小铁球在最高点处的速度v＝.以地面为零势能面，小铁球在B点处的总机械能为mg×3L＋mv2＝mgL，无论轻绳是在何处断的，小铁球的机械能总是守恒的，因此到达地面时的动能mv′2＝mgL，故小铁球落到地面的速度v′＝，正确答案为D.
3.如图所示，将物体从确定高度水平抛出(不计空气阻力)，物体运动过程中离地面高度为h时，物体水平位移为x、物体的机械能为E、物体的动能为Ek、物体运动的速度大小为v.以水平地面为零势能面．下列图象中，能正确反映各物理量与h的关系的是(　　)

解析：选B.设抛出点距离地面的高度为H，由平抛运动规律x＝v0t，H－h＝gt2可知：x＝v0，图象为抛物线，故A项错误；做平抛运动的物体机械能守恒，故B项正确；平抛物体的动能Ek＝mv2＝mgH－mgh＋mv，速度v＝，故C、D项错误．
4.如图所示，一匀质杆长为r，从图示位置由静止开头沿光滑面ABD滑动，AB是半径为r的圆弧，BD为水平面．则当杆滑到BD位置时的速度大小为(　　)

A. B.
C. D．2
解析：选B.杆初始状态静止，末状态匀速平动，整个过程无机械能损失，由机械能守恒定律得：
mv2＝ΔEp＝mg，解得：v＝，B正确．
5.半径分别为r和R(r<R)的光滑半圆形槽，其圆心均在同一水平面上，如图所示，质量相等的两物体分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速度地释放，在下滑过程中两物体(　　)

A．机械能均渐渐减小
B．经最低点时动能相等
C．机械能总是相等的
D．两物体在最低点时加速度大小不相等
解析：选C.两物体下滑的过程中，均只有重力做功，故机械能守恒，A错误，C正确；在最低点，两物体重力势能不同，由机械能守恒定律可知，两物体动能不同，B错误；物体由半圆形槽左边缘到最低点的过程中，有mgR＝mv2，在最低点，两物体的加速度a＝，解得a＝2g，其与圆周运动的轨道半径无关，D错误．
☆6.(2021·北京东城区模拟)物体做自由落体运动，Ek表示其动能，Ep表示其势能，h表示其下落的距离，t、v分别表示其下落的时间和速度，以水平面为零势能面，下列图象中能正确反映各物理量之间关系的是(　　)

解析：选D.由自由落体运动规律可知，Ek＝mv2，v＝gt，因此A、B错误；又由功能关系可知，Ek＝mgh，Ek＋Ep＝mgH(H为抛出点到零势能面的高度)，可知C错误，D正确．
二、多项选择题
7.(2021·潍坊模拟)如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动．设开头时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力．下列分析正确的是 (　　)

A．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
B．从A到B的过程中，小球的机械能削减
C．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
D．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
解析：选BC.从A到B，弹簧和小球组成的系统机械能守恒，而弹簧的弹性势能增加，故小球机械能减小，A错B对；在最低点时，小球对环没有作用力，弹簧弹力与重力的合力供应向心力，即F－mg＝，C对D错．
8.如图所示，光滑圆弧槽在竖直平面内，半径为0.5 m，小球质量为0.10 kg，从B点正上方0.95 m高处的A点自由下落，落点B与圆心O等高，小球由B点进入圆弧轨道，飞出后落在水平面上的Q点，DQ间的距离为2.4 m，球从D点飞出后的运动过程中相对于DQ水平面上升的最大高度为0.80 m，取g＝10 m/s2.不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)

A．小球经过C点时轨道对它的支持力大小为6.8 N
B．小球经过P点的速度大小为3.0 m/s
C．小球经过D点的速度大小为4.0 m/s
D．D点与圆心O的高度差为0.30 m
解析：选ABD.设小球经过C点的速度为vC，
由机械能守恒定律得，mg(H＋R)＝mv
由牛顿其次定律有N－mg＝m
代入数据解得N＝6.8 N.
设小球经过P点的速度为vP，小球由P到Q做平抛运动，竖直方向h＝gt2，水平方向＝vPt
代入数据解得vP＝3.0 m/s.
从开头运动到P点的过程中，机械能守恒，取DQ面为零势能面，则mv＋mgh＝mv＝mg(H＋hOD)
代入数据解得vD＝5.0 m/s，hOD＝0.3 m，
综上可知，选项A、B、D正确．
9.(2021·江苏苏北联考)如图所示，重10 N的滑块在倾角为30°的斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧．滑块压缩弹簧到c点开头弹回，返回b点离开弹簧，最终又回到a点，已知ab＝0.8 m，bc＝0.4 m，那么在整个过程中(　　)

A．滑块滑到b点时动能最大
B．滑块动能的最大值是6 J
C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J
D．滑块和弹簧组成的系统整个过程机械能守恒
解析：选CD.滑块能回到原动身点，所以滑块和弹簧组成的系统机械能守恒，D项正确；以c点为参考点，则在a点滑块的机械能为6 J，在c点时滑块的速度为0，重力势能也为0，从c到b弹簧的弹力对滑块做的功等于弹性势能的削减量，故为6 J，所以C项正确；由a到c的过程中，因重力势能不能全部转变为动能，动能的最大值在平衡位置，小于6 J，A、B项错误．
☆10.(2021·江苏苏北四市调研)如图所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R，圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看做质点)，且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连，在小球B从最高点由静止开头沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g)，下列说法正确的是(　　)

A．A球增加的机械能等于B球削减的机械能
B．A球增加的重力势能等于B球削减的重力势能
C．A球的最大速度为
D．细杆对A球做的功为mgR
解析：选AD.系统机械能守恒的实质可以理解为是一种机械能的转移，此题的情景就是A球增加的机械能等于B球削减的机械能，A对，B错；依据机械能守恒定律有：2mg·2R－mg·2R＝×3mv2，所以A球的最大速度为 ，C错；依据功能关系，细杆对A球做的功等于A球增加的机械能，即WA＝mv2＋mg·2R＝mgR，故D对．
三、非选择题
11．(2021·湖北十堰模拟)如图所示，粗糙弧形轨道和两个光滑半圆轨道组成翘尾巴的S形轨道．光滑半圆轨道半径为R，两个光滑半圆轨道连接处C、D之间留有很小的空隙，刚好能够使小球通过，C、D之间距离可忽视．粗糙弧形轨道最高点A与水平面上B点之间的高度为h.从A点静止释放一个可视为质点的小球，小球沿翘尾巴的S形轨道运动后从E点水平飞出，落到水平地面上，落点到与E点在同一竖直线上B点的距离为s.已知小球质量为m，不计空气阻力，求：

(1)小球从E点水平飞出时的速度大小；
(2)小球运动到半圆轨道的B点时对轨道的压力；
(3)小球沿翘尾巴S形轨道运动时克服摩擦力做的功．
解析：(1)小球从E点水平飞出做平抛运动，设小球从E点水平飞出时的速度大小为vE
由平抛运动规律有
s＝vEt
4R＝gt2
联立解得vE＝ .
(2)小球从B点运动到E点的过程，机械能守恒
mv＝mg·4R＋mv
解得v＝8gR＋
在B点FN－mg＝m
解得FN＝9mg＋
由牛顿第三定律可知小球运动到B点时对轨道的压力为FN′＝9mg＋，方向竖直向下．
(3)设小球沿翘尾巴的S形轨道运动时克服摩擦力做的功为W，则
mg(h－4R)－W＝mv
解得W＝mg(h－4R)－.
答案：(1)　(2)9mg＋，方向竖直向下
(3)mg(h－4R)－
☆12.(2021·郑州模拟)如图所示，质量分别为3m、2m、m的三个小球A、B、C用两根长为L的轻绳相连，置于倾角为30°、高为L的固定光滑斜面上，A球恰能从斜面顶端处竖直落下，弧形挡板使小球只能竖直向下运动，小球落地后均不再反弹．由静止开头释放它们，不计全部摩擦，求：
(1)A球刚要落地时的速度大小；
(2)C球刚要落地时的速度大小．
解析：(1)在A球未落地前，A、B、C组成的系统机械能守恒，设A球刚要落地时系统的速度大小为v1，则
(mA＋mB＋mC)v＝mAghA－mBghB1－mCghC1
又hA＝L，hB1＝hC1＝Lsin 30°
代入数据并解得：v1＝ .
(2)在A球落地后，B球未落地前，B、C组成的系统机械能守恒，设B球刚要落地时系统的速度大小为v2，则
(mB＋mC)v－(mB＋mC)v＝mBghB2－mCghC2
又hB2＝L，hC2＝Lsin 30°
代入数据并解得：v2＝
在B球落地后，C球未落地前，C球在下落过程中机械能守恒，设C球刚要落地时的速度大小为v3，则
mCv－mCv＝mCghC3
又hC3＝L，代入数据解得v3＝.
答案：(1)　(2)