2021版《·讲与练》高中数学北师大版必修五：课时作业5-等差数列的前n项和.docx

课时作业5　等差数列的前n项和
时间：45分钟　　满分：100分
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　)
A．S4<S5　　　　　　　　 B．S4＝S5
C．S6<S5 D．S6＝S5
【答案】　B
【解析】　由于，所以a1＝－8，d＝2.
所以an＝2n－10，所以a5＝0，所以S4＝S5.
求a5是解答本题的关键．
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
【答案】　A
【解析】　∴.
∴Sn＝na1＋d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.
＝(n－6)2－36.
即n＝6时，Sn最小．
3．若数列{an}满足an＋1－an＝3，a10＝30，则S10等于(　　)
A．330 B．165
C．310 D．155
【答案】　B
【解析】　∵an＋1－an＝3，
∴数列{an}是等差数列且公差d＝3，
又a10＝a1＋9d＝a1＋27＝30，∴a1＝3.
S10＝＝＝165.
4．在等差数列{an}中，已知S2＝2，S4＝4，则S6等于(　　)
A．0 B．4
C．6 D．12
【答案】　C
【解析】　∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，即2,4－2，S6－4成等差数列，∴2＋S6－4＝2×2，∴S6＝6.
5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
【答案】　C
【解析】　由题意知S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.
6．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为(　　)
A．9 B．10
C．19 D．20
【答案】　B
【解析】　设从上面开头，第n层的钢管数为an，则{an}为等差数列，且公差d＝1，a1＝1，Sn＝.要使剩余的钢管数最少，则用到的钢管数最多，又S19＝190<200，S20＝210>200，所以堆放19层时，所剩钢管数最少，即剩余钢管根数为200－190＝10.
7．已知数列{an}是公差为d的等差数列，Sn是其前n项和，且有S9<S8＝S7，则下列说法不正确的是(　　)
A．S9<S10
B．d<0
C．S7与S8均为Sn的最大值
D．a8＝0
【答案】　A
【解析】　由于等差数列的前n项和Sn是关于非零自然数n的一元二次函数，即Sn＝n2＋(a1－d)n.由于S9<S8＝S7，可得该二次函数的图像开口向下，即d<0，其前n项和中最大值为S8与S7，且其前7项均为正数项，第8项为0.由该函数的单调性可得S9>S10，故应选A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝__________.
【答案】　15
【解析】　∵S3＝3，S6＝24，
∴有a1＋a2＋a3＝3，
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝24，
∴3a2＝3，∴a2＝1.
3(a2＋a5)＝24，
∴a5＝7.
∴3d＝7－1＝6，∴d＝2.
∴ a9＝a5＋4d＝7＋8＝15.
9．已知数列{an}的通项为an＝3n－10(n∈N＋)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝________.
【答案】　89
【解析】　|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝－(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a7＋a8＋a9＋a10)＝(1＋4＋7)＋(2＋5＋8＋11＋14＋17＋20)＝89.
10．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当Sn取得最大值时，n的值为________．
【答案】　4或5
【解析】　又a4＝1，S5＝(a2＋a4)＝10，
∴a2＝3，设公差为d，首项为a1，
则a4＝a2＋2d＝3＋2d＝1，∴d＝－1，
∴a2＝a1＋d＝a1－1＝3，即a1＝4.
∴an＝a1＋(n－1)d＝4－(n－1)＝5－n.
令an＝0，得n＝5，即当n>5时，an<0，
∴当n＝4或5时，Sn取最大值．
三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
11．(15分)在等差数列{an}中，
(1)已知a1 005＝，求S2 009；
(2)已知d＝2，S100＝10 000，求an；
(3)已知a4＋a6＝6，S5＝10，求公差d.
【解析】　(1)∵a1＋a2 009＝2a1 005，
∴S2 009＝
＝2 009a1 005＝2 009×＝49.
(2)由S100＝100a1＋×2＝10000，
解得a1＝1.故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
(3)由已知可得解之，得d＝.
12．(15分)等差数列{an}的前n项和为Sn＝－5n2＋20n，求数列{|an|}的前n项和Sn.
【解析】　设首项为a1，公差为d，则a1＝S1＝15，
S2＝－5×4＋40＝20.
∴a2＝S2－a1＝5，
∴d＝a2－a1＝－10.
∴an＝－10n＋25.
由an≥0，即－10n＋25≥0，得n≤2.5，
又∵n∈N＋，∴a1，a2为正，a3，a4，…为负，
∴当n≤2时，|an|＝an，Sn＝－5n2＋20n；
当n>2时，|an|＝－an，
∴Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2－a3－a4－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＋2(a1＋a2)＝－Sn＋2S2＝5n2－20n＋40.
∴Sn＝.
13．(20分)2010年11月14日训练部下发了《关于在中学校实施“校校通”工程的通知》．某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2011年起用10年的时间，在全市中学校建成不同标准的校内网．据测算，2011年该市用于“校校通”工程的经费为500万元．为了保证工程的顺当实施，方案每年投入的资金都比上一年增加50万元．那么从2011年起的将来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
【解析】　依据题意，从2011～2022年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元．所以，可以建立一个等差数列{an}，表示从2011年起各年投入的资金，其中
a1＝500，d＝50.
那么，到2022年(n＝10)，投入的资金额为
S10＝10×500＋×50＝7 250(万元)．
所以，从2011年～2022年，该市在“校校通”工程中的总投入是7 250万元．