高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章-拓展资料：聚焦导数中的逆向题.docx

聚焦导数中的逆向题
近几年来，在各类模拟卷及各地高考卷中，频频毁灭导数运算的逆向题．解此类题要点是构造适当的函数，通过导数与单调性之间的关系来解决问题．
一、逆用导数的定义
例1 设y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝－2，则等于( )
(A) (B) 2 (C) － (D) －2
解：＝
＝－＝2，故选(B)．
点评：本题逆用导数的定义，即＝－2＝，本题中△x＝－h．
二、逆用差的导数法则
例2 设f(x)，g(x)是定义在(0，+∞)上的函数，且＞，设a＞b＞0，则下列各式正确的是( )
(A) (B)
(C) f(a)－f(b)＞g(a)－g(b) (D) f(a)－f(b)＜g(a)－g(b)
解：由－＞0，即，
所以f(x)－g(x)在(0，+∞)上是增函数，而a＞b＞0，
故f(a)－g(a)＞f(b)－g(b)，即f(a)－f(b)＞g(a)－g(b)，而选(C)．
点评：本题逆用差的导数的运算法则，结合函数的单调性而使问题解决．
三、逆用积的导数法则
例3 f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)+x＜0，且f(4)＝0，则不等式xf(x)＜0的解集为( )
(A) (－4，0)∪（4，+∞) (B) (－4，0)∪（0，4)
(C) (－∞，－4)∪（4，+∞) (D) (－∞，－4)∪（0，4)
解：设F(x)＝xf(x)，则＝f(x)+x，
当x＞0时，＜0，F(x)为(0，+∞)上的减函数．
又f(4)＝0，即F(4)＝0，且函数F(x)为偶函数，
所以xf(x)＜0的解集是(－∞，－4)∪（4，+∞)，故选(C)．
点评：本题逆用导数的积的运算，从而使问题简化．
四、逆用商的导数法则
例4 设f(x)、g(x)是定义在R上恒大于零的可导函数，且g(x)－f(x)＞0，则a＜x＜b时有( )
(A)f(x)g(x)＞f(b)g(b) (B) f(x)g(a)＞f(a)g(x)
(C) f(x)g(b)＞f(b)g(x) (D) f(x)g(a)＞f(x)g(x)
解：由于g(x)－f(x)＞0，
所以＞0，即＞0，
所以在R上是增函数，又a＜x＜b，
所以＜＜，又f(x)、g(x)是定义在R上恒大于零，
故有f(x)g(a)＞f(a)g(x)，而选(B)．
点评：通过构造函数，逆用商的导数的运算法则，确定函数的单调性，利用单调性得出大小关系．