2020-2021学年北师大版高中数学必修1双基限时练29-实际问题的函数建模.docx

双基限时练(二十九)　实际问题的函数建模
基 础 强 化
1．一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　)
A. y＝2t　　　　　　　　　 B. y＝120t
C. y＝2t(t≥0) D. y＝120t(t≥0)
答案　D
2．某种商品进货单价为40元，若按每个50元的价格出售，能卖出50个，若销售单价每上涨1元，则销售量就削减1个，为了获得最大利润，此种商品的最佳售价应定为每个(　　)
A．50元 B．60元
C．70元 D．80元
解析　设售价为(50＋x)元，则利润y＝(10＋x)(50－x)＝－x2＋40x＋500，
当x＝20时，y有最大值．
∴为了获得最大利润，商品的最佳售价为50＋20＝70元．
答案　C

3．某公司市场营销部的个人月收入与每月的销售量成一次函数关系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是(　　)
A. 310元 B. 300元
C. 290元 D. 280元
解析　设y＝kx＋b，由题意得
得
∴y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.
答案　B
4．某学校开展争辩性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现预备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
A. y＝2x－2 B. y＝x
C. y＝log2x D. y＝(x2－1)
解析　逐个检验．
答案　D
5．某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是：y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台产品的销售价为25万元，则生产不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低销售量为(　　)
A. 100台 B. 120台
C. 150台 D. 180台
解析　解不等式25x≥3000＋20x－0.1x2可得x≥150.
答案　C
6．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60人，则该公司拟录用人数为(　　)
A．15 B．40
C．25 D．130
解析　当1≤x<10时，y＝4x＝60，x＝15(舍去)；当10≤x<100时，y＝2x＋10＝60，x＝25；当x≥100时，y＝1.5x＝60，x＝40(舍去)．故y＝60时，x＝25，即该公司拟录用人数为25.
答案　C
能 力 提 升
7．1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，则2022年底世界人口将达到y亿，那么y与x的函数关系式为________．
解析　由题意得，每年人口是上一年的(1＋x%)倍，∴y＝54.8(1＋x%)22.
答案　y＝54.8(1＋x%)22
8．某种商品投放市场以来，曾经过3次降价，其价格由a元降至b元，那么该商品平均每次降价的百分数是________．
解析　设平均每次降价的百分数为x，则a(1－x)3＝b，解得x＝1－.
答案　1－
9．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
高峰电价(单位：元/千瓦时)
低谷月用电量(单位：千瓦时)
低谷电价
(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
50及以下
的部分
0.288
超过50至
200的部分
0.598
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.668
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析　0.568×50＋0.598×(200－50)＋0.288×50＋0.318×(100－50)＝148.4元．
答案　148.4
10．某商店有一种货，假如月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%，假如月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？
解　设这种货的成本费为a元，则若月初售出，到月末共获利润为：
y1＝100＋(a＋100)×2.4%.
若月末售出，可获利y2＝120－5＝115(元)，
y1－y2＝0.024a－12.6＝0.024(a－525)．
故当成本大于525元时，月初售出好；成本小于525元时，月末售出好．
11．某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台，需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元．市场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)＝5x－(万元) (0≤x≤5)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)．
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？
解　(1)当x≤5时，产品能售出x百台；当x>5时，只能售出5百台，故利润函数为
L(x)＝R(x)－C(x)＝

＝
(2)0≤x≤5时， L(x)＝4.75x－－0.5，
当x＝4.75时，得L(x)max＝10.781 25万元．
∴生产475台时利润最大．
12．某跨国饮料公司在对全世界全部人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的状况的调查中发觉：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．
(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示A饮料的年人均销量，单位：升)，用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．y＝ax2＋bx，y＝kx＋b，y＝logax＋b，y＝ax＋b.
(2)若人均GDP为1千美元时，A饮料的年人均销量为2升；若人均GDP为4千美元时，A饮料的年人均销量为5升，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，A饮料的年人均销量最多是多少？
解　(1)用函数y＝ax2＋bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适．
由于函数y＝kx＋b，y＝logax＋b，y＝ax＋b在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征．
(2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5)，
则有
解得
∴y＝－x2＋x(0.5≤x≤8)．
∵y＝－x2＋x＝－2＋≤.
∴在各地区中，当x＝时，A饮料的年人均销量最多是升．
考 题 速 递
13．下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此推断它最可能的函数模型是(　　)
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析　作出散点图，观看分布状况，这些点分布在一条直线上，故应满足一次函数模型．
答案　A