高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章-分析法与综合法的区别和联系.docx

分析法与综合法的区分和联系
一、学问要点：
综合法与分析法是中学数学解题思想中最基本的两种方法．
所谓综合法，是指“由因导果”的思想方法，即从已知条件或某些已经证明过的结论动身，不断地开放思考，去探究结论的方法．
综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：
“已知…可知1…可知2…结论”．
所谓分析法，是指“执果索因”的思想方法，即从结论动身，不断地去查找须知，直至达到已知事实为止的方法．
分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式：
“结论须知1须知2…已知”；
基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：查找结论成立的充分条件或者是充要条件
②“分析法”证题是一个格外好的方法，但是书写不是太便利，所以我们可以利用分析法查找证题的途径，然后用“综合法”进行表达
⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法
⑵用分析法探究证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法
⑶ “分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式动身，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到明显成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达 分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：
正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探究解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯
简洁化原则：寻求解题思路与途径，常把较简洁的问题转化为较简洁的问题，在证明较简洁的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式。
二、综合应用
例1 已知AD是∠BAC的平分线，DE∥CA，且交AB于E(如图)．求证：DE=AE．
思路
分析(1)用综合法探求，其思路如下： (2)用分析法探求，其思路如下：

至此，恰好是题设条件，问题得到解决．
评述：由于分析是执果索因，立足于查找欲证结论的合适的充分条件，利于思考；而综合法是由因导果，立足于查找已知条件合适的必要条件，适宜于表述．因此，对于一个新的问题，多半实行先用分析法寻求解法，后用综合法有条理地表述．
　　例如对下面这道数学问题：
例2 已知AF是直线，∠1=∠2，BE=CD，如图4－4．求证：BD=CE．
(2)综合证明表述如下：
∵ AF是直线，且∠1=∠2(已知)，
∴∠3=∠4(等量减等量其差相等)．
又∵ BE＝CD(已知)，
BC=BC(公共边)，
∴△EBC≌△DCB(边角边)．
∴ BD=CE(全等三角形对应边相等)．

思路分析 (1)分析思路如下：
至此步骤，均为题设中供应的条件，
问题获得解决．

评述：实际证题过程，分析与综合是统一运用的，把分析和综合孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却刚好相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它
例3. 已知a，b∈R，且a+b=1
求证：
证法一：（分析法）

由于明显成立，所以原不等式成立
评述：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件。
证法二：（综合法）由上分析法逆推获证（略）。其它方法略。
例4.设实数x，y满足y+x2=0，0<a<1，求证：
证明：（分析法）要证，
，只要证：，
又，
只需证：
∴只需证，
即证，此式明显成立
∴原不等式成立
评述：分析法即探讨结论成立的条件明显成立或与已知题设相合即可。
例5.设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：
证明：（综合法），

评述：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知。