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二元凸复合与DC复合优化问题的最优性条件.pdf
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1、Advances in Applied Mathematics 应用数学进展应用数学进展,2024,13(4),1746-1757 Published Online April 2024 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/aam https:/doi.org/10.12677/aam.2024.134165 文章引用文章引用:肖程凤,田超松.二元凸复合与 DC 复合优化问题的最优性条件J.应用数学进展,2024,13(4):1746-1757.DOI:10.12677/aam.2024.134165 二元凸复合与二元凸复合与DC复合优化问题的最优性条
2、件复合优化问题的最优性条件 肖程凤肖程凤*,田超松田超松 吉首大学师范学院,湖南 吉首 收稿日期:2024年3月28日;录用日期:2024年4月23日;发布日期:2024年4月30日 摘摘 要要 利用变分分析相关结论,对二元凸复合优化问题和利用变分分析相关结论,对二元凸复合优化问题和DC复合优化问题的最优解进行刻画,推广了前人的相复合优化问题的最优解进行刻画,推广了前人的相关结论。关结论。关键词关键词 凸复合优化问题,凸复合优化问题,DC复合优化问题,最优性条件复合优化问题,最优性条件 Optimality Conditions for the Convex Composite Optimiz
3、ation and Composite Optimization of DC with Binary Variable Chengfeng Xiao*,Chaosong Tian College of Normal,Jishou University,Jishou Hunan Received:Mar.28th,2024;accepted:Apr.23rd,2024;published:Apr.30th,2024 Abstract Characterizations of optimal solutions of convex and DC of composite optimization
4、problems are described based on advanced tools of variational analysis,which extend the corresponding results in the previous papers.Keywords Convex Composite Optimization Problem,DC Composite Optimization Problem,Optimality Condition *通讯作者。肖程凤,田超松 DOI:10.12677/aam.2024.134165 1747 应用数学进展 Copyright
5、2024 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 在实际生产生活中二元函数占据着举足轻重的地位,当目标函数或约束函数为二元函数时,约束优化问题的复杂程度、研究难度大大提高。对目标函数为二元函数,约束函数带一元函数的约束优化问题,已有诸多学者利用集值映射协导数、次微分性质、闭性条件等
6、进行研究,得到了值函数次微分的估计式、KKT类最优性条件等(参看文献1 2 3 4)。而对于目标函数为二元复合函数的约束优化问题少有研究,因此本文考虑目标函数为二元复合函数,约束函数为一元复合函数的二元复合优化问题,利用函数的Fr chet次微分和集值映射协导数的相关性质及闭性约束规范条件,建立该问题的最优性条件。又因为DC(两个凸函数的差)优化问题无论是在理论意义还是实际应用方面都比凸优化问题更加具有普遍性,而且许多的实际问题都可以转化成DC优化问题,因此DC优化问题受到了学者们的广泛关注。学者们利用协导数性质、凸化技巧等对DC优化问题值函数的次微分进行估计,并对最优性条件进行刻画(参看文献
7、4 5 6 7)。受此启发,本文将再次对目标函数为二元复合DC函数,约束函数为一元复合DC函数的这一类二元DC复合优化问题进行研究,通过利用凸化技巧、集值映射协导数的性质,建立该问题的最优性必要条件。2.预备知识预备知识 设1,P X Z和2Z是Banach空间,1,PXZ和2Z分别是1,P X Z和2Z的共轭空间。定义Y上的序为:若yxK,则Kyx。设Z是X的非空子集,记Z的凸锥包和闭包分别为coneZ和clZ。用,xx表示泛函xX在点xX的值,即(),xxxx=。非空集合Z的对偶锥和示性函数分别定义为::,0,ZxXxxxZ=,()0,:,zxZx=+其它.定义凸子集Z在00zZ处的法锥为
8、()00;:,0,N z ZxXxzzzZ=。设T是任意(可能无限)指标集,令T表示定义在T上的实值函数所组成的空间,并赋予乘积拓扑。记()():0.TTttt T=最多只有有限个 用()T+表示()T上的非负锥,即()()():0,TTttt TtT+=。设f是X上的真函数,定义f的有效定义域,上图和共轭函数分别为:()dom:,fxXf x=+()()epi:,:,fx rXf xr=()():sup,:,fxxxf xxXxX=。显然,epif是弱闭集。对任意的,rpX,函数:,h X 有()()epiepi,hprhpr+=+(2.1)()()(),.hprxhxprxX+=(2.2)
9、当f是凸函数时,f在点domxf的次微分定义为()()():,f xxXf xxyxfyyX=+。由文7的定理 2.3.1(ii)和定理 2.4.2(iii)知YoungFenchel不等式和Young等式成立,即 Open AccessOpen Access肖程凤,田超松 DOI:10.12677/aam.2024.134165 1748 应用数学进展 ()()(),f xfxx xx xXX+(2.3)()()(),.xf xf xfxxx+=(2.4)设X,定义在点0 x的Fr chet法锥为()0000;:limsup0,xxx xxN xxXxx =其中:0 xx 表示x且0 xx。
10、特别地,当集合是凸集时,Fr chet法锥即为凸分析中经典的法锥。设:G XY是定义在X上满足()G xY的集值映射,定义G的定义域和图分别为()dom:,GxX G x=()()gph:,:Gx yXYyG x=。定义集值映射G在点(),gphx yG的协导数(),:D G x yYX为()()()()(),:,;gph,D G x yyxXxyNx yGyY=。设:X 是实值延拓函数,点0domx且满足()0.x+由文8知,函数在0 x处-Fr chet次微分 定义为()()()00000,:liminf,0.xxxxxxxxxXxx=当0domx时,()0 x=。当0=时,()()00:
11、xx=为在0 x处Fr chet次微分。特别地,当是凸函数时,()()00:xx=即为凸分析中经典的次微分。由定义由()000.xx是 的局部最优解 (2.5)由文9知,设函数:Y,对任意的,x yY,若当Kyx时有()()yx,则称函数是K 增函数。设函数:XY,对任意的12,0,1x xX t,有()()()()()121211Ktxt xtxtx+,则称函数是K 凸函数。对于任意的K,定义()()X:为()()(),dom,:,xxx=+,其它.显然,为K 凸函数当且仅当对任意的,K为凸函数。若对任意的(),:KX是下半连续函数,则称函数是starK下半连续函数。定义复合函数的复合形式为
12、()()()(),dom,:,fxxfx=+其它.并且,对X上的系统:tStT,约定.ttSX=3.两类复合优化问题的最优性条件两类复合优化问题的最优性条件 设T是任意指标集,taP是一固定值,12:PXZZ是真K 凸映射,12:fZZ 是真凸K 增函数,2:h XZ是真K 凸且starK下半连续映射,2:,tfZtT是真凸下半连续且K 增函数,:g PX 和:,tgXtT均为真凸函数。本文主要研究二元凸复合优化问题()P()()()()Min ,s.t.,ttfp xfhxaptT 和二元DC复合优化问题()P()()()()()()Min ,s.t.,tttfp xg p xfhxgxap
13、tT 的最优性条件。肖程凤,田超松 DOI:10.12677/aam.2024.134165 1749 应用数学进展 3.1.凸复合优化问题的最优性条件凸复合优化问题的最优性条件 本节主要对问题()P最优解的特征进行刻画。定义可行解集映射:F PX为()()():,.ttF pxXfh xaptTpP=分别定义可行解集映射F的图和特征集()C p为()()()()()()()()dom,gph:,:,:coneepi0,.ttttttttft TFp xPXfh xaptTC phfap=+设(),p xPX,记(),T p x为点(),p x的活动指标集,即()()(),:,.ttT p x
14、tTfh xap=由文7可得以下引理。引理引理 3.1.1 7设:g X 是真凸函数,:domXZ是真K 凸函数,:fZ 为真凸函数且在()domK+上是K 增函数。若存在点()10domdomxgf+使得函数f在()0 x处连续,则对任意的xX有()()()()()()dommin,fgfxfgx+=+或者()()()domepiepi,fgfgf+=+且对任意的()1domdomxgf+,有()()()()()().fxfgxgx+=+故由引理 3.1.1 可得以下命题。命题命题 3.1.1 设()dom,pFxX。若存在点()10domtt Txhf使得tf在()0h x处连续,则()(
15、)(),cl.xxxF pxC p 证明证明设对任意的()xF p,有,xx,则()()sup,F px XxxxxX 故()()F px,即()(),epiF px。由文10(3.1)式)和(2.1)式可得()()()()()()()()()()()()domepicl epiconeepi,cl coneepi0,cl coneepi0,clC,F pttXttt Tttt Tttttt Tffhapfhaphfapp=+=+=+=故()(),clCxp。显然逆推亦成立,证毕。肖程凤,田超松 DOI:10.12677/aam.2024.134165 1750 应用数学进展 定理定理 3.1
16、.1 设()(),ghp,p xFpxPX。若存在点()10domtt Txhf使得tf在()0h x处连续,则()(),pD F p xx当且仅当()()()dom,cl coneepi.ttttttft Tpxppxxahf 证明证明 根据协导数的定义可知,()(),pD F p xx当且仅当()()(),;ghppxNp xF。由ghpF是凸集及法锥定义可得(),gph.ppxxppxxp xF 结合命题 3.1.1 可知,上式成立当且仅当()()()dom,cl coneepi.ttttttft Tpxppxxahf 证毕。接下来考虑问题()P的最优性条件。定 理定 理 3.1.2 设
17、(),ghpp xF是 问 题()P的 极 小 点,若 存 在 点()()111,domghp,p xfF()10domtt Txhf使 得 函 数,tf f分 别 在 点()()110,p xh x处 连 续,则 存 在 点(),px()()()(),fp xp x使得()()()dom,cl coneepi.ttttttft Tpxppxxahf (3.1)若()()dom,coneepittttttft Tahf在PX上是弱闭集,(3.2)则存在()()()()()()(),Ttt Tfp xpxp x+=和()()ttfh x使得()()()(),.ttt T p xttt T p x
18、paxhx=(3.3)证明证明 由(),ghpp xF是问题()P的极小点知,(),ghpp xF亦是问题()()()Min ,s.t.,ghpfp xp xF 的极小点。根据(2.5)式可得()()ghp0,.Ffp x+又存在点()()111,domghpp xfF,使得函数f在点()11,p x处连续,且f为凸函数、ghpF是凸集,故()()()()0,;ghp.fp xNp xF+再结合引理 3.1.1 得 肖程凤,田超松 DOI:10.12677/aam.2024.134165 1751 应用数学进展 ()()()()()(),0,;ghp.fp xp xNp xF+故 存 在点()
19、()()()(),fp xpxp x使 得()()(),;ghppxNp xF。因此 由协 导 数定 义知()(),pD F p xx,从而由定理 3.1.1 可知(3.1)式成立。若(3.2)式成立,则存在()()()()(),fp xpxp x,使得()()()dom,coneepi.ttttttft Tpxppxxahf 故由锥的定义可知,存在()()Ttt T+=和()()()0dom,epitttttttftTx rhf,使得()()000,ttttt tt Tt Tt Tpxppxxaxr=(3.4)其中0:0tTtT=是T中有限子集。由此可知,欲证(3.3)式成立,只需证对任意的
20、0tT,有()()()(),ttttxhxfh x且()0,TT p x。现依次给出证明。结合(3.4)式,(),ghpp xF可得()()()()()000 ,tttttt tt Tt Ttttt Tttthfxrppxxxxapxxfh x=0,t T 即()()()()(),.tttttthfxxxfh x (3.5)由(2.3)式知()()()()()(),tttttttthfxxxhfx (3.6)()()()(),.ttttfh xfh x (3.7)结合(3.5),(3.7)式可知()()()()()(),tttttttthfxxxhfx 故由(2.2),(3.6)式可得()()
21、()(),tttthxxxhx=因此()()ttxhx。进一步,由(3.5),(3.6)式知()()()()(),tttthfxfh x 即()()()(),.tttth xfh xf (3.8)肖程凤,田超松 DOI:10.12677/aam.2024.134165 1752 应用数学进展 从而,由(3.7),(3.8)式知()()()(),tttth xfh xf=(3.9)故,结合(2.4)式可知()()ttfh x。下面只需证明()0,TT p x。结合(3.4),(3.9)式及(),ghpp xF可得()()()()()()()()00000,ttt tt Tt Ttttttt Tt
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