(人教B版)数学必修1同步测试：第二章-函数1.3-第1课时-Word版含答案.docx

其次章　2.1　2.1.3　第1课时

一、选择题
1．下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是(　　)
A．y＝　　　　　　　 B．y＝x3
C．y＝x0 D．y＝x2
[答案]　D
[解析]　∵函数y＝x2的图象是开口向上的抛物线，对称轴为y轴，∴函数y＝x2在(－∞，0)上为减函数．
2．设函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的增函数，则有(　　)
A．a> B．a≤
C．a>－ D．a<
[答案]　A
[解析]　由题意2a－1>0，∴a>.
3．假如函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1、x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是(　　)
A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0
[答案]　C
[解析]　由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B、D正确；对于C，若x1<x2时，可能有x1＝a或x2＝b，即f(x1)＝f(a)或f(x2)＝f(b)，故C不成立．
4．(2022～2021学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数f(x)＝－x2＋2ax＋3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<4 B．a≤4
C．a>4 D．a≥4
[答案]　D
[解析]　函数f(x)的图象的对称轴为x＝a，由题意得a≥4.
5．若函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上(　　)
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或是减函数 D．无法确定单调性
[答案]　D
[解析]　函数f(x)在两个单调增区间的并区间上并不愿定是增函数．如图所示．

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则(　　)
A．f(1)>f(2) B．f(－a)<f(a)
C．f(0)<f(a) D．f(1)<f(2)
[答案]　A
[解析]　∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴f(1)>f(2)，故选A．
二、填空题
7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且m＝f()，n＝f(a2－a＋1)，则m与n的大小关系是____________．
[答案]　m≥n
[解析]　a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴f()≥f(a2－a＋1)，
∴m≥n.
8．已知函数f(x)的图象如图．则f(x)的单调减区间为________，最大值为________，最小值为________．

[答案]　[－3,1]　2　－3
[解析]　由图可知f(x)的单调减区间为[－3,1]，最大值为2，最小值为－3.
三、解答题
9．(2022～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)已知函数f(x)＝，证明函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
[证明]　设任意x1∈(1，＋∞)，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2.
f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝
∵x1<x2，∴x1－x2<0.
又∵x1>1，x2>1，
∴2x1－1>0,2x2－1>0，
∴<0，
∴f(x2)<f(x1)．
故函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数．
10．推断函数f(x)＝－x3＋1在R上的单调性．
[证明]　函数f(x)＝－x3＋1在R上是减函数．
设x1、x2∈R，且x1<x2，
Δy＝f(x2)－f(x1)＝－x＋1＋x－1＝x－x＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x)
＝(x1－x2)，
∵x1<x2，∴x1－x2<0，
又2＋>0，∴f(x2)－f(x1)<0，
∴Δy<0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数.

一、选择题
1．在(－∞，0)上是减函数的是(　　)
A．y＝1－x2 B．y＝－
C．y＝x－1 D．y＝
[答案]　D
[解析]　函数y＝1－x2，y＝－，y＝x－1在区间(－∞，0)上是增函数，函数y＝在(－∞，0)上为减函数，故选D．
2．已知函数f(x)＝8＋2x－x2，那么(　　)
A．f(x)在(－∞，0)上是减函数 B．f(x)是减函数
C．f(x)是增函数 D．f(x)在(－∞，0)上是增函数
[答案]　D
[解析]　函数f(x)＝8＋2x－x2的图象为开口向下，对称轴是x＝1的抛物线，∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．
3．函数y＝|x＋2|在区间[－3,0]上是(　　)
A．递减 B．递增
C．先减后增 D．先增后减
[答案]　C
[解析]　y＝|x＋2|＝，

作出y＝|x＋2|的图象，
易知在[－3，－2]上为减函数，
在[－2,0]上为增函数．
4．已知f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，则有(　　)
A．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)
C．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b) D．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)
[答案]　A
[解析]　∵f(x)在(－∞，＋∞)内是减函数，a、b∈R，且a＋b≤0，∴a≤－b，b≤－a，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
二、填空题
5．若f(x)＝x2＋2mx＋2在(－∞，1]上是减函数，则实数m的取值范围为________．
[答案]　m≤－1
[解析]　∵函数f(x)＝x2＋2mx＋2的对称轴为x＝－m，∴要使函数在(－∞，1]上是减函数，应满足－m≥1，∴m≤－1.
6．函数y＝x2＋x＋1(x∈R)的递减区间为________．
[答案]　(－∞，－]
[解析]　函数y＝x2＋x＋1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－，
∴函数的递减区间为(－∞，－]．
三、解答题
7．设函数f(x)是R上的单调增函数，F(x)＝f(x)－f(2－x)．
求证：函数F(x)在R上是单调增函数．
[证明]　任取x1、x2∈R，且x1<x2，
∵函数f(x)是R上的单调增函数，
∴f(x1)<f(x2)，f(2－x1)>f(2－x2)，
即f(x1)－f(x2)<0，f(2－x1)－f(2－x2)>0，
∴F(x1)－F(x2)＝[f(x1)－f(2－x1)]－[f(x2)－f(2－x2)]＝[f(x1)－f(x2)]＋[f(2－x2)－f(2－x1)]<0，即F(x1)－F(x2)<0，所以F(x1)<F(x2)．
∴函数F(x)在R上是单调增函数．
8．争辩函数f(x)＝(a≠)在(－2，＋∞)上的单调性．
[解析]　设x1、x2为(－2，＋∞)内的任意两个实数，且x1<x2，
则f(x2)－f(x1)＝－
＝
＝.
∵x1>－2，x2>－2，x1<x2，
∴x1＋2>0，x2＋2>0，x2－x1>0.
因此，当a>时，2a－1>0，此时f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)，此时函数f(x)＝在(－2，＋∞)上是增函数；
当a<时，2a－1<0，此时f(x2)－f(x1)<0，即f(x1)>f(x2)，此时函数f(x)＝在(－2，＋∞)上是减函数．