2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：6.4-基本不等式-.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三十五)基本不等式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列不等式:a2+12a;a+bab2;x2+1x2+11,其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.不正确,正确,x2+1x2+1=(x2+1)+1x2+1-12-1=1.2.(2021福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.-2,+D.-,-2【解析】选D.22x+y2x+2y=1,所以2x+y14,即2x+y2-2,所以x+y-2.3.(2021济南模拟)设a0,b1,若a+b=2,则2a+1b-1的最小值为()A.3+22B.6C.42D.22【解析】选A.由题可知a+b=2,a+b-1=1,所以2a+1b-1=2a+1b-1(a+b-1)=2+2(b-1)a+ab-1+13+22,当且仅当a=2-2,b=2时,等号成立,故选A.4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,bR)对称,则ab的取值范围是()A.-,14B.0,14C.-14,0D.-,14【解题提示】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),故-2a-2b+2=0,即a+b=1,故aba+b22=14.5.若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是()A.-1,2B.1,2C.-1,1D.-2,2【解析】选A.由于(x-y)2+(x-z)2+(y-z)20,所以x2+y2+z2xy+xz+yz,所以xy+yz+zx2;又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)0,所以xy+xz+yz-12(x2+y2+z2)=-1.综上可得:-1xy+xz+yz2.故选A.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2021青岛模拟)下列命题中正确的是(填序号).y=2-3x-4x(x0)的最大值是2-43;y=sin2x+4sin2x的最小值是4;y=2-3x-4x(x0)的最小值是2-43.【解析】正确,由于y=2-3x-4x=2-3x+4x2-23x4x=2-43.当且仅当3x=4x,即x=233时等号成立.不正确,令sin2x=t,则0t1,所以g(t)=t+4t,明显g(t)在(0,1上单调递减,故g(t)min=g(1)=1+4=5.不正确,由于x0,最小值为2+43,而不是2-43.答案:【误区警示】此题简洁毁灭答案为,是由于做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.7.(2021四川高考)已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=.【解析】由题f(x)=4x+ax(x0,a0),依据基本不等式4x+ax4a,当且仅当4x=ax时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.答案:368.已知x,y为正实数,3x+2y=10,3x+2y的最大值为.【解析】由a+b2a2+b22得3x+2y2(3x)2+(2y)2=23x+2y=25,当且仅当x=53,y=52时取等号.答案:25【一题多解】此题还可以这样解:设W=3x+2y0,W2=3x+2y+23x2y=10+23x2y10+(3x)2+(2y)2=10+(3x+2y)=20,所以W20=25,当且仅当x=53,y=52时等号成立.答案:25三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a,b是正数,求证:a+1b2b+12a92.【证明】由于a,b是正数,利用均值不等式,a+1b2b+12a=2ab+12+2+12ab=2ab+12ab+522+52=92,所以a+1b2b+12a92.10. (2021淄博模拟)如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2米的无盖长方体的沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a米,高度为b米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a,b各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔的面积忽视不计)?【解析】方法一:设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=kab,其中k为比例系数,且k0,依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a0,b0),所以b=30-a2+a(0a0,依题意,即所求的a,b值使y最小.据题意有:4b+2ab+2a=60(a0,b0),即2b+ab+a=30,由于a+2b22ab,所以30-ab=a+2b22ab.所以ab+22ab-300.由于a0,b0,所以00,b0,且ln(a+b)=0,求1a+1b的最小值.(2)求x(8-3x)(0x0,b0,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab2+2baab=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b的最小值为4.(2)由于0x0,b0,1a+9b=1,所以a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab10+29=16,由题意,得16-x2+4x+18-m,即x2-4x-2-m对任意实数x恒成立,而x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6-m,即m6.【加固训练】(2022闵行模拟)若不等式(x+y) ax+4y16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.【解析】由于不等式(x+y)ax+4y16对任意正实数x,y恒成立,所以16(x+y)ax+4ymin.令f(x)=(x+y)ax+4y(a0),则f(x)=a+4+ayx+4xya+4+2ayx4xy=a+4+4a,当且仅当xy=a2时取等号,所以a+4a+416,解得a4,因此正实数a的最小值为4.答案:44.(12分)若a0,b0,且1a+1b=ab.(1)求a3+b3的最小值.(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.【解析】(1)由于a0,b0,且1a+1b=ab,所以ab=1a+1b21ab,所以ab2,当且仅当a=b=2时取等号.由于a3+b32(ab)3223=42,当且仅当a=b=2时取等号,所以a3+b3的最小值为42.(2)由(1)可知,2a+3b22a3b=26ab436,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.5.(13分)(力气挑战题)为了降低能耗,新建住宅的屋顶和外墙都要求建筑隔热层.某幢建筑物要建筑可使用20年的隔热层,每厘米的隔热层建筑成本为6万元.该建筑物每年的能耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=k3x+5(0x10),若不建隔热层,每年能耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建筑费用与20年的能耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.【解析】(1)当x=0时,C(0)=8,即k5=8,所以k=40,所以C(x)=403x+5,所以f(x)=6x+20403x+5=6x+8003x+5(0x10).(2)f(x)=6x+8003x+5=2(3x+5)+8003x+5-1022(3x+5)8003x+5-10=70.当且仅当2(3x+5)=8003x+5,即x=5时等号成立,因此最小值为70,所以当隔热层修建5cm厚时总费用最小,最小值为70万元.关闭Word文档返回原板块