2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第8章-第5讲--直线、平面垂直的判定及其性质.docx

第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)．
A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
答案　B
2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由面面垂直的判定定理，知m⊥β⇒α⊥β.
答案　B
3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是 (　　)．
A．PA＝PB＝PC
B．PA⊥BC，PB⊥AC
C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等
D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等
解析　条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.
答案　B
4. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在
(　　)．
A．直线AB上 　　 B．直线BC上
C．直线AC上 　　 D．△ABC内部
解析　由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．
答案　A
5．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 (　　)．
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α
C．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
D．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
解析　与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α状况，故B错；对D，存在α∥β状况，故D错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.
答案　C
6．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四周体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四周体A－EFH中必有 (　　)．

A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
解析　折成的四周体有AH⊥EH，AH⊥FH，
∴AH⊥面HEF.
答案　A
二、填空题
7. 如图，拿一张矩形的纸对折后略微开放，直立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．
解析　折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．
答案　垂直
8．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确命题的序号是________．
解析　由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；由于l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；由于l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．
答案　①③
9．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是________．
解析　如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，
PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不愿定垂直于BC.
答案　3个
10. 如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________．
解析　由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.
又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，
∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.
又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确．
答案　①②③
三、解答题
11．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC上．
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求证：A1C∥平面AB1D.
解析 (1)∵B1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴B1D⊥AC.
又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，
∴AC⊥平面BB1C1C.
(2)　≠⇒
⇒BC1⊥B1C，
∴四边形BB1C1C为菱形，
∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点．
连接A1B，与AB1交于点E，在三角形A1BC中，DE∥A1C，
∴A1C∥平面AB1D.
12． 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
(1)求证：B1D1∥平面A1BD；
(2)求证：MD⊥AC；
(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
(1)证明　由直四棱柱，得BB1∥DD1，
又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD.
而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，
∴B1D1∥平面A1BD.
(2)证明　∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.
而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.
(3)解　当点M为棱BB1的中点时，
平面DMC1⊥平面CC1D1D.
取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．
∵N是DC的中点，BD＝BC，
∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，
而平面ABCD⊥平面DCC1D1，
∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，
∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．
∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.
∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.
13．如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；
(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.
(3)求三棱锥D－BCE的体积．
(1)证明　连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，
又MN＝AE＝CD，
∴四边形ANME为平行四边形，
∴AN∥EM.∵AN⊄平面CME，EM⊂平面CME，
∴AN∥平面CME.
(2)证明　∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，
∴AN⊥平面BCD.
由(1)，知AN∥EM，
∴EM⊥平面BCD.
又EM⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.
(3)解　VD－BCE＝VE－BCD＝S△BCD·|EM|
＝××＝.
14． 如图，在多面体ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1綉BB1，AB＝AC＝AA1＝BC，B1C1綉BC.
(1)求证：A1B1⊥平面AA1C；
(2)若D是BC的中点，求证：B1D∥平面A1C1C.
(3)若BC＝2，求几何体ABC－A1B1C1的体积．
(1)证明　∵AB＝AC＝BC，AB2＋AC2＝BC2，
∴AB⊥AC，
又AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1∩AC＝A，
∴AB⊥平面AA1C，
又∵AA1綉BB1，∴四边形ABB1A1为平行四边形．
∴A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面AA1C.
(2)证明　∵B1C1綉BC，且D是BC的中点，
∴CD綉C1B1，∴四边形C1CDB1为平行四边形，
∴B1D∥C1C，B1D⊄平面A1C1C且C1C⊂平面A1C1C，
∴B1D∥平面A1C1C.
(3)解　连接AD，DC1，
V＝V三棱柱A1B1C1－ABD＋V四棱锥C－AA1C1D
＝×1×1×＋×(×1)×1＝.