江苏省宿迁市2013—2020学年高一数学(苏教版)暑期作业及答案(18)：立体几何综合题.docx

高一数学暑假作业十八（立体几何综合题）
一、填空题
1．边长为2的正方体的内切球的表面积为 ．
2．AB、CD是两条异面直线，则直线AC、BD的位置关系肯定是 (填“平行”、“相交”或“异面”)．
3．一个圆台上底和下底半径分别为2和4，母线长为，则它的体积为 ．
4．设m、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；其中正确命题的序号是 ．
5．已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为 .
6．直线a、b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则a与b的位置关系为
7．空间四边形中,、分别是、的中点,=3、=4、=,那么与所成角的度数是______
8．长方体的长、宽、高之比是1:2:3,对角线长是,则长方体的体积是
9．一只蚂蚁从棱长为1cm的正方体的表面上某一点P处动身，走遍正方体的每个面的中心的最短距离d=f(P), 那么d的最大值是 ．
10．圆柱的轴截面是边长为1的正方形，那么它侧面积为 ．
11．已知直线和平面，下列推理错误的是： ．
①且 ②∥且
③∥且∥ ④且∥或
12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 　　　　　 ．（写出全部正确结论的编号）．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四周体；④每个面都是等边三角形的四周体；⑤每个面都是直角三角形的四周体.
13．如图，E、F分别为正方体的面，面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是： ．（填出全部可能的序号）
B
C
D
E
F

A

① ② ③ ④

14．【江苏·苏北四市】10.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为真命题的是 .
二 解答题
15、(14分)已知正方体，是底对角线的交点.
求证：（１）C1O∥面；
(2）面．

16．（本小题满分16 分）
在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2,E为棱CC1的中点．
(1) 求三棱锥E-ABD的体积；
(2) 求证：B1D1AE；
(3) 求证：AC//平面B1DE．

17．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形. 求证：
(1)平面B1AC//平面DC1A1;
(2)平面B1AC⊥平面B1BDD1.

18．（本小题满分12分）

如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．
（I）证明平面；
（II）设，证明平面．

19．（本小题满分16分） 如图，正四棱锥P－ABCD中，O是底面正方形的中心， E是PC的中点，求证：
（1）PA∥平面BDE ；
（2）平面PAC 平面BDE。

20．如图，在四棱锥中，，，且DB平分，
E为PC的中点，,
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）证明

高一数学暑假作业十八（立体几何综合题）答案
一填空题
1．边长为2的正方体的内切球的表面积为 ．
2．AB、CD是两条异面直线，则直线AC、BD的位置关系肯定是 (填“平行”、“相交”或“异面”)．异面
3．一个几何体的俯视图是两个半径分别为2和4的同心圆，主视图是一个上底为4，下底为8，腰为的等腰梯形，则它的体积为 ． 14
4．设m、n是两条不同的直线,是三个不同的平面,给出下列四个命题：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；其中正确命题的序号是 ． ①②③
5、已知正四棱柱的底面积为4，过相对侧棱的截面面积为8，则该正四棱柱的体积为 .
6..直线a、b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线,则a与b的位置关系为__ 相交或异面
7.空间四边形中,、分别是、的中点,=3、=4、=,那么与所成角的度数是______ 90度
8.长方体的长、宽、高之比是1:2:3,对角线长是,则长方体的体积是 48_
主视图
左视图
俯视图

9.一只蚂蚁从棱长为1cm的正方体的表面上某一点P处动身，走遍正方体的每个面的中心的最短
距离d=f(P), 那么d的最大值是 ．
10.如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，
俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积为 ．
11.已知直线和平面，下列推理错误的是： ．③
①且 ②∥且
③∥且∥ ④且∥或
12.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 　　　　　 ．（写出全部正确结论的编号）． ①③④⑤
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四周体；
④每个面都是等边三角形的四周体；⑤每个面都是直角三角形的四周体.

13.如图，E、F分别为正方体的面，面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是： ．（填出全部可能的序号）②③

B
C
D
E
F

A

① ② ③ ④

14．【江苏·苏北四市】10.给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若；
②若m、l是异面直线，；
③若；
④若
其中为真命题的是▲ ①②④ .
二 解答题
15、已知正方体，是底对角线的交点.求证：（１）C1O∥面；
(2）面． (14分)

16．（本小题满分16 分）
在正方体ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2,E为棱CC1的中点．
(1) 求三棱锥E-ABD的体积；
(2) 求证：B1D1AE；
(3) 求证：AC//平面B1DE．

解：（1）平面ABD，
∴V=CE.SABD= -------4’
（2）连结A1C1，在正方体中
B1D1A1C1，B1D1CC1，A1C1 CC1=C1
　　　　∴B1D1面A1C1CA， -----8’
AE面A1C1CA
∴B1D1AE ---------10’
（3）解法一：连结AC1，取AC1的中点为H，取AC的中点O，连接HO，
∵HO//EC且HO=EC
∴四边形HOCE为平行四边形，OC//HE即AC//HE ------13’
连接BD1，易知四边形A1BCD1为平行四边形，则H为BD1和A1C的交点
∴HE平面B1DE
AC平面B1DE
AC//平面B1DE - ------------16’

解法二：延长BC与B1E延长线交于F，连DF
E为棱CC1中点
∴B1C1EFCE
∴CF=C1B1=CB
∴CF//AD且CF=AD
∴ADFC为平行四边形
∴AC//DF --------------13’
AC平面B1DE
DF平面B1DE
∴AC//平面B1DE --------------16’

17在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形. 求证：
(1)平面B1AC//平面DC1A1;
(2)平面B1AC⊥平面B1BDD1.
(1)由于ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，所以，A1C1//AC，
而A1C1平面B1AC，AC平面B1AC，所以A1C1//平面B1AC. …………3分
同理，A1D//平面B1AC. …………5分
由于 A1C1、A1D 平面DC1A1，A1C1A1D ＝A1，
所以平面B1AC//平面DC1A1. …………7分
(2) 由于ABCD－A1B1C1D1是直四棱柱，所以B1B⊥平面ABCD， …………9分
而AC平面ABCD，所以AC⊥B1B.
由于底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
由于B1B、BD平面B1BDD1，B1B BD＝B，所以AC⊥平面B1BDD1. …………12分
由于AC平面B1AC，故有平面B1AC⊥平面B1BDD1. …………14分

18．（本小题满分12分）
如图，在五面体中，点是矩形的对角
线的交点，面是等边三角形，棱．
（I）证明平面；
（II）设，证明平面．
（2006年天津卷）

（Ⅰ）证明：取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中。
，又，
则，连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.

又平面CDE，切EM平面CDE，∵FO∥平面CDE
（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，
且.
因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM
而FM∩CD=M，∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.
而，所以EO⊥平面CDF.

19．（本小题满分16分） 如图，正四棱锥P－ABCD中，O是底面正方形的中心， E是PC的中点，求证： （1）PA∥平面BDE ； （2）平面PAC 平面BDE。

证明：（1）如图，连结OE，
…………………4′
在△中，分别是的中点，

………………8′
又
平面BDE

………………10′
（2）在正四棱锥P－ABCD中，平面ABCD，
，
………………13′
又且

………………16′
又

20.如图，在四棱锥中，，，且DB平分，E为PC的中点，,
（Ⅰ）证明
（Ⅱ）证明
【答案】（1）略（2）略（3）
【解析】 证明：设，连结EH，在中，由于AD=CD，且DB平分，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故,又
,所以
（2）证明：由于，，所以
由（1）知，,故
【考点定位】本小题主要考察直线与平面平行。直线和平面垂直。直线和平面所成的角等基础学问，考察空间想象力量、运算力量和推理力量。

20．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；（3）平面DEA ⊥平面ECA。
分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于查找平面内始终线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。
证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。
∵ EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。
∴ DB ⊥AB ，EC ⊥BC。
∵ BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。
又BA ＝BC ＝DF ，
∴ Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。
（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，
∵ M 是EA 的中点，
∴ MN EC。
由BD EC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。
∵ DE ＝DA ，M 是EA 的中点，
∴ DM ⊥EA ．又EA MN ＝M ，
∴ DM ⊥平面ECA ，而DM 平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。
（3）∵ DM ⊥平面ECA ，DM 平面DEA ，
∴ 平面DEA ⊥平面ECA。
点评：面面垂直的问题经常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。