2020-2021学年人教A版高中数学必修5：第二章-数列-单元同步测试.docx

其次章测试
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．Sn是数列{an}的前n项和，log2Sn＝n(n＝1,2,3，…)，那么数列{an}(　　)
A．是公比为2的等比数列
B．是公差为2的等差数列
C．是公比为的等比数列
D．既非等差数列也非等比数列
解析　由log2Sn＝n，得Sn＝2n，a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝22－2＝2，a3＝S3－S2＝23－22＝4，…
由此可知，数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列．
答案　D
2．一个数列{an}，其中a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，则a5＝(　　)
A．6　　　　　　　　 B．－3
C．－12 D．－6
解析　a3＝a2－a1＝6－3＝3，
a4＝a3－a2＝3－6＝－3，
a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
答案　D
3．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列前n项和为(　　)
A．an－1 B．na
C．an D．(n－1)a
解析　由题意，知an＝a(a≠0)，∴Sn＝na.
答案　B
4．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为(　　)
A．63 B．64
C．127 D．128
解析　a5＝a1q4＝q4＝16，∴q＝2.
∴S7＝＝128－1＝127.
答案　C
5．已知－9，a1，a2，－1四个实数成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1五个实数成等比数列，则b2(a2－a1)的值等于(　　)
A．－8 B．8
C．－ D.
解析　a2－a1＝＝，
b＝(－1)×(－9)＝9，∴b2＝－3，
∴b2(a2－a1)＝－3×＝－8.
答案　A
6．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析　依题意，得－10＝(n＋2)，
∴n＝3.
答案　B
7．已知{an}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线的斜率为(　　)
A．4 B.
C．－4 D．－
解析　由a4＝15，S5＝55，得
解得
∴a3＝a4－d＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)．kPQ＝＝4.
答案　A
8．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19＝(　　)
A．55 B．95
C．100 D．190
解析　S19＝×19＝×19＝×19＝95.
答案　B
9．Sn是等差数列{an}的前n项和，若a2＋a4＋a15是一个确定的常数，则在数列{Sn}中也是确定常数的项是(　　)
A．S7 B．S4
C．S13 D．S16
解析　a2＋a4＋a15＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋14d＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，∴a7为常数．
∴S13＝×13＝13a7为常数．
答案　C
10．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝62，则通项是(　　)
A．2n－1 B．2n
C．2n＋1 D．2n＋2
解析　∵a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝q(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)，
∴62＝q×31，∴q＝2.∴S5＝＝31.
∴a1＝1，∴an＝2n－1.
答案　A
11．已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使其前n项和Sn取得最大值的自然数n是(　　)
A．4或5 B．5或6
C．6或7 D．不存在
解析　由d<0知，{an}是递减数列，
∵|a3|＝|a9|，∴a3＝－a9，即a3＋a9＝0.
又2a6＝a3＋a9＝0，∴a6＝0.
∴S5＝S6且最大．
答案　B
12．若a，b，c成等比数列，则方程ax2＋bx＋c＝0(　　)
A．有两个不等实根
B．有两相等的实根
C．无实数根
D．无法确定
解析　a，b，c成等比数列，∴b2＝ac>0.
而Δ＝b2－4ac＝ac－4ac＝－3ac<0.
∴方程ax2＋bx＋c＝0无实数根．
答案　C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．2，x，y，z,18成等比数列，则x＝________.
解析　设公比为q，则由2，x，y，z,18成等比数列．得18＝2q4，∴q＝±.∴x＝2q＝±2.
答案　±2
14．若数列{an}满足an＋1＝且a1＝，则a2021＝________.
解析　由题意，得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝，a7＝，…，∴a2021＝a3＝.
答案　
15．一个数列的前n项和为Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n＋1n，则S17＋S33＋S50＝____________.
解析　S17＝－8＋17＝9，S33＝－16＋33＝17，S50＝－25，∴S17＋S33＋S50＝1.
答案　1
16．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析　＝＝15.
答案　15
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*.
(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和．
解　(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a，∵a1≠0，
∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.
当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1＝Sn－1
两式相减得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1，
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，
即an＝2n－1.
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由(1)知，nan＝n·2n－1.
记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是
Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①
2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.②
①－②得
－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝2n－1－n·2n.
从而Bn＝1＋(n－1)·2n.
18．(12分)已知等比数列{an}，首项为81，数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Sn.
(1)证明{bn}为等差数列；
(2)若S11≠S12，且S11最大，求{bn}的公差d的范围．
解　(1)证明：设{an}的公比为q，
则a1＝81，＝q，由an>0，可知q>0，
∵bn＋1－bn＝log3an＋1－log3an＝log3＝log3q(为常数)，
∴{bn}是公差为log3q的等差数列．
(2)由(1)知，b1＝log3a1＝log381＝4，
∵S11≠S12，且S11最大，
∴即

∴－≤d<－.
19．(12分)等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.
(1)求an与bn；
(2)证明：＋＋…＋<.
解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d>0，q≠0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，依题意有
解得或(舍去)．
故an＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)证明：由(1)知Sn＝×n＝n(n＋2)，
＝＝，
∴＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝－
∵>0
∴＋＋…＋<.
20．(12分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解　(1)设{an}的公比为q，由已知，得16＝2q3，解得
q＝2，
∴an＝a1qn－1＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.
设{bn}的公差为d，则有解得
从而bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.
所以数列{bn}的前n项
和Sn＝＝6n2－22n.
21．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N*，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N*.
(1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
解　(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1.∴an＝4n－1(n∈N*)．
由an＝4log2bn＋3＝4n－1，得bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知an·bn＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，
∴Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)×2n－1，
2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)×2n－1＋(4n－1)×2n.
∴2Tn－Tn＝(4n－1)×2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1]＝(4n－5)2n＋5.
故Tn＝(4n－5)2n＋5.
22．(12分)已知数列{an}满足a1＝1，an－2an－1－2n－1＝0(n∈N*，n≥2)．
(1)求证：数列{}是等差数列；
(2)若数列{an}的前n项和为Sn，求Sn.
解　(1)∵an－2an－1－2n－1＝0，∴－＝，
∴{}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)由(1)，得＝＋(n－1)×，
∴an＝n·2n－1，
∴Sn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1①
则2Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n②
①－②，得
－Sn＝1＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n＝－n·2n＝2n－1－n·2n，
∴Sn＝(n－1)·2n＋1.