东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：双曲线B.docx

双曲线(学案)B
一、 学问梳理：
1. 双曲线的定义

定义的理解:
(1)当2a=2c时, ; 当2a>2c时,
(2)当a=0时, ;
(3)当|MF1|-| MF2|=2a时,表示 ; 当|MF2|-| MF1|=2a时,表示
2.双曲线的标准方程:焦点在x轴上的标准方程: x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0)．焦点在y轴上的标准方程: y2a2-x2b2 =1(a>0,b>0)
两种方程可用统一形式表示:Ax2+ By2=1 (AB<0) ,当A>0,B<0时,焦点在 轴上,当A<0,B>0时,焦点在 轴上; 对双曲线的两种标准方程，都有(a>0,b>0)，焦点都在实轴上，且a、b、c始终满足c2=a2+b2
3.双曲线焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看系数,假如x2为正,y2的系数为负,则双曲线的焦点在x轴上,反之,焦点在y上.
4.双曲线的几何性质
对于双曲线 x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0)
(1) 范围:由标准方程可知, x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0)|x|≥a ,说明双曲线位于直线x=±a的两侧;
(2) 对称性: 双曲线 x2a2-y2b2 =1(a>0,b>0) 关于直线x轴,y轴,及原点对称;
(3) 顶点:A1(-a,0), A2(a,0) 是双曲线与x轴的两个交点, B1(0,-b), B2(0,b)线段A1A2、B1B2分别叫双曲线的实轴与虚轴，它们的长分别是2a，2b；a，b分别叫双曲线的半实轴长与半虚轴长。
(4) 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比值e= ca 叫双曲线的离心率，范围：（1，+∞），越接近于1越窄狭，越大开阔，常用计算：e2=1+ c2 a2 ；双曲线上点到焦点和直线x= a2c 的距离之比等于离心率，由此可以求出双曲线上的点到相应的焦点的距离（焦半径）p在右支上时,|pF1|= ex0+a |pF2|= ex0-a ;p在左支上时, |pF1|=-( ex0+a) |pF2|=-( ex0-a )( F1, F2为左、右焦点)
(5) 双曲线的渐近线
求法：将方程中的常数变为0
特点：与渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点。
有共同渐近线的双曲线系:与双曲线有共同渐近线的双曲线可设为x2a2-y2b2 =λ(a>0,b>0,λ≠0)
5.（选讲内容）双曲线的参数方程：双曲线 x2 a2-y2b2 =1(a>0,b>0)的参数方程为： x=secθy=tanθ （θ）
为参数
6.二次曲线的弦长公式：
整理得到x的方程：
整理得到y的方程：
7.等轴双曲线：
x2-y2=λ(λ≠0)
渐近线:y=±x
离心率:e=2
xy=1是等轴双曲线
8.共轭双曲线: x2 a2-y2b2 =±1(a>0,b>0)
二、题型探究
探究一：双曲线的标准方程（求双曲线方程常用方法：待定系数法）
例1:求适合下列条件的双曲线的标准方程
（1）、两个焦点坐标分别为（-4，0）、（4，0），双曲线上的点P到两个焦点的距离之差为6；

（2）、与椭圆x2 25+y25 =1共焦点且过点B(32 ,2)

（3）、求以椭圆x2 25+y216 =1的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线标准方程

探究二：双曲线的几何性质
例2：依据下列条件,求双曲线的标准方程
(1)与双曲线x2-y2=1有共同的渐近线,且过点(-3, 23).

(2)与双曲线x2-y2=1有共同的焦点,且过点(32, 2).

(3)双曲线的一条渐近线与x轴夹角为300,且过点(1,1).

探究三：直线与双曲线
例3：
(1)、已知双曲线，过点能否作直线交双曲线于、两点，且线段中点为？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．
解：这样的直线不存在,可用点差法解AB的斜率为2,这与判别式大于零冲突.

(2)、过双曲线的右焦点作直线L交双曲线于两点，求线段的中点的轨迹方程。
解：易得右焦点为，则有：，两式相减：由题设条件得：，， 代入得：
。
三、方法提升
（1）、娴熟把握双曲线的标准方程，特殊是a，b，c，e四个数值的换算关系；
（2）、把握双曲线的定义、几何性质，通过运算得到的双曲线特殊结论要留下深刻印象；特殊是渐近线的重要结论.
（3）、为简化运算，处理交点问题时，常接受“设而不求”的方法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与双曲线的位置关系中极为重要。
四、反思感悟

五、课时作业
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.若方程=-1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半焦距c的取值范围是（ ）
A.（0，1） B.（1，2） C.（1，+∞） D.以上都不对

2.(2010江苏南京一模，8)若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率e等于（ ）
A. B. C. D.
3.(2010湖北重点中学模拟，11)与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点（-3, 4）的双曲线方程是（ ）
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
4.设离心率为e的双曲线C：=1（a>0,b>0）的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C在左、右两支都相交的充要条件是（ ）
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
5.下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3,则( )

A.e1>e2>e3 B.e1<e2<e3
C.e1=e3<e2 D.e1=e3>e2
6.(2021湖北重点中学模拟,11)已知椭圆E的离心率为e,两焦点为F1、F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若=e,则e的值为( )
A. B. C. D.
7.(2022江苏南通九校模拟，10)已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF的面积为(O为原点)，则两条渐近线的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
二、填空题（每小题5分，共15分）
8.已知椭圆=1与双曲线=1(m>0,n>0)具有相同的焦点F1、F2，设两曲线的一个交点为Q，∠QF1F2=90°，则双曲线的离心率为______________.
9.(2022湖北黄冈一模，15)若双曲线=1的一条准线恰为圆x2+y2+2x=0的一条切线，则k等于_________________.
10.双曲线-y2=1(n>1)的两焦点为F1、F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2,则△PF1F2的面积为_______________.

三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分）
11.若双曲线=1(a>0,b>0)的右支上存在与右焦点和左准线距离相等的点，求离心率e的取值范围.

12.已知△P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P而离心率为的双曲线方程.

13.(2022江苏扬州中学模拟，23)已知倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，其中B在第一象限，且|AB|=3.
（1）求点B的坐标；
（2）若直线l与双曲线C:-y2=1(a>0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为（4，1），求实数a的值.

14.如右图，F1、F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点，点A的坐标是（,-）,点B在双曲线上，且·=0.

(1)求点B的坐标；
(2)求证：∠F1BA=∠F2BA.