《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第七章-第2讲-空间几何体的表面积与体积.docx
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1、第2讲空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面开放图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面开放图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3做一做1(2022高考福建卷)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A2BC2 D1解析:选A.以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径r1,高h1,所以侧面积S2rh2.2某几何体的三视图如图
2、所示,则该几何体的体积为()A6 B3C2 D3解析:选B.由三视图可知,该几何体是一个直三棱柱,其底面为侧视图,该侧视图是底边为2,高为的三角形,正视图的长为三棱柱的高,故h3,所以几何体的体积VSh33.1辨明两个易误点(1)求组合体的表面积时,要留意各几何体重叠部分的处理(2)底面是梯形的四棱柱侧放时,简洁和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错2.求空间几何体体积的常用方法(1)公式法:直接依据相关的体积公式计算(2)等积法:依据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更简洁,或是求出一些体积比等(3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可
3、计算体积的几何体3几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,正方体的外接球,则2Ra;正方体的内切球,则2Ra;球与正方体的各棱相切,则2Ra.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R.(3)正四周体的外接球与内切球的半径之比为31.做一做3(2022高考陕西卷)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为()A. B4C2 D.解析:选D.正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点,所以球的半径r1,球的体积Vr3.故选D.4. 一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正视图如图所示,则该四棱锥
4、的侧面积和体积分别是()A4,8 B4,C4(1), D8,8解析:选B. 由正视图知:四棱锥的底面是边长为2的正方形,四棱锥的高为2,V222.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形,底为2,高为,S侧424._空间几何体的表面积_(1)(2022高考浙江卷)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A90 cm2B129 cm2C132 cm2 D138 cm2(2)(2021长春市调研)某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为()A2 B2C2(1) D2解析(1)该几何体如图所示,长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm,3 cm,直三棱柱的底面是直角三角形,边长分别为
5、3 cm,4 cm,5 cm,所以表面积S2(4643)36339939138(cm2)(2)由几何体的三视图可知,该几何体是一个沿旋转轴作截面,截取的半个圆锥,底面半径是1,高是2,所以母线长为,所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和,即222,故选A.答案(1)D(2)A规律方法(1)多面体的表面积的求法:求解有关多面体表面积的问题,关键是找到其特征几何图形,如棱柱中的矩形,棱台中的直角梯形,棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、边长等几何元素的桥梁,从而架起侧面积公式中的未知量与条件中已知几何元素的联系(2)旋转体的表面积的求法:圆柱、圆锥、圆台的侧面是
6、曲面,计算侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和1.(1)(2022高考安徽卷)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为()A21 B18C21 D18(2)(2021江西八校联考) 若一个圆台的正视图如图所示,则其表面积等于_解析:(1)由几何体的三视图可知,该几何体的直观图如图所示因此该几何体的表面积为62()221.故选A.(2)由图知圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,母线长为l,则圆台表面积为(rr)l(r2r2)53.答案:(1)A(2)53_空间几何体的体积(高频考点)_空间几何体的体积是每年高考的热点,考查时多与三视图结合考查,题型既有
7、选择题、填空题,也有解答题,难度偏小,属于简洁题高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度: (1)求简洁几何体的体积; (2)求组合体的体积; (3)求以三视图为背景的几何体的体积(1)(2022高考辽宁卷)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为()A82 B8C8 D8(2)(2022高考课标全国卷)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥AB1DC1的体积为()A3 B.C1 D.(3)(2022高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.解析(1)这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体,如图,几何体的高为2
8、,V2312228.(2) 在正ABC中,D为BC中点,则有ADAB,SDBC2.又平面BB1C1C平面ABC,ADBC,AD平面ABC,AD平面BB1C1C,即AD为三棱锥AB1DC1底面上的高V三棱锥A BDCSDBCAD1. (3)依据三视图知,该几何体上部是一个底面直径为4,高为2的圆锥,下部是一个底面直径为2,高为4的圆柱故该几何体的体积V222124.答案(1)B(2)C(3)规律方法求空间几何体体积的解题策略(1)求简洁几何体的体积若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解 (2)求组合体的体积若所给定的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用转换法、分割法、补形
9、法等进行求解 (3)求以三视图为背景的几何体的体积应先依据三视图得到几何体的直观图,然后依据条件求解2.(1)(2021太原市模拟)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为()A.cm3 B.cm3C.cm3 D.cm3(2)(2021高考江苏卷) 如图,在三棱柱A1B1C1ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点设三棱锥FADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2,则V1V2_. 解析:(1)依据给定的三视图可知,该几何体对应的直观图是两个长方体和一个圆柱的组合体,所求几何体的体积V4421331cm3.(2)设三棱柱的底面ABC的面积为S,高为h
10、,则其体积为V2Sh.由于D,E分别为AB,AC的中点,所以ADE的面积等于S.又由于F为AA1的中点,所以三棱锥FADE的高等于h,于是三棱锥FADE的体积V1ShShV2,故V1V2124.答案:(1)C(2)124_球与空间几何体的接、切问题_(2021唐山市统一考试)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,ABAC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为()A2 B1C. D.解析由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,BAC90,ABC的外接圆圆心N位于BC的中点,同理A1B1C1的外心M是B1C1的中
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