2022届-数学一轮(文科)-浙江专用-课时作业-第八章-解析几何-5-.docx
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第5讲 椭 圆 基础巩固题组 (建议用时:40分钟) 一、选择题 1.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.5 解析 由题意知,在△PF1F2中,|OM|=|PF2|=3, ∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4. 答案 A 2.已知椭圆+=1的焦距为4,则m等于 ( ) A.4 B.8 C.4或8 D.以上均不对 解析 由得2<m<10, 由题意知(10-m)-(m-2)=4或(m-2)-(10-m)=4, 解得m=4或m=8. 答案 C 3.(2021·诸暨质量检测)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是 ( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析 依题意,所求椭圆的焦点位于x轴上,且c=1,e==⇒a=2,b2=a2-c2=3,因此其方程是+=1,故选C. 答案 C 4.(2022·宁波二中一模)已知椭圆+=1上有一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有 ( ) A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 解析 当∠PF1F2为直角时,依据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当P点为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2最大,且为直角,此时这样的点P有2个.故符合要求的点P有6个. 答案 C 5.(2021·辽宁卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为 ( ) A. B. C. D. 解析 如图,设|AF|=x,则cos∠ABF==. 解得x=6,∴∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF1是直角三角形,所以|F1F|=10,故2a=8+6=14,2c=10,∴=. 答案 B 二、填空题 6.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________. 解析 由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 答案 7 7.已知椭圆+=1 (a>b>0)的离心率等于,其焦点分别为A,B,C为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则在△ABC中,的值等于________. 解析 在△ABC中,由正弦定理得=,由于点C在椭圆上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以===3. 答案 3 8.(2021·杭州二中调研)已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是________. 解析 设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2-c2+y2=c2,① 将y2=b2-x2代入①式解得 x2==, 又x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2,∴e=∈. 答案 三、解答题 9.(2022·新课标全国Ⅱ卷)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解 (1)依据c=及题设知M,=,2b2=3ac. 将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为. (2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a. ① 由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 即 代入C的方程,得+=1. ② 将①及c=代入②得+=1. 解得a=7,b2=4a=28, 故a=7,b= 2 . 10.(2022·江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连接F1C. (1)若点C的坐标为,且|BF2|=,求椭圆的方程; (2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值. 解 设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0). (1)由于B(0,b),所以|BF2|==a. 又|BF2|=,故a=. 由于点C在椭圆上, 所以+=1,解得b2=1. 故所求椭圆的方程为+y2=1. (2)由于B(0,b),F2(c,0)在直线AB上, 所以直线AB的方程为+=1. 解方程组得 所以点A的坐标为. 又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为. 由于直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2. 故e2=,因此e=. 力量提升题组 (建议用时:35分钟) 11.(2022·金华十校测试与评估)设F1,F2分别是椭圆E:+=1的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|= ( ) A. B.3 C. D.2 解析 依题意得|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+(|AF2|+|BF2|)=|AB|+(|AF2|+|BF2|)=3|AB|=4×2,|AB|=,故选C. 答案 C 12.在椭圆+=1内,通过点M(1,1),且被这点平分的弦所在的直线方程为 ( ) A.x+4y-5=0 B.x-4y-5=0 C.4x+y-5=0 D.4x-y-5=0 解析 设直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则 由①-②,得 +=0, 因所以=-=-, 所以所求直线方程为y-1=-(x-1), 即x+4y-5=0. 答案 A 13.(2021·陕西五校联考)椭圆+=1(a为定值,且a>)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B.若△FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是________. 解析 设椭圆的右焦点为F′,如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a. 又△FAB的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a, 当且仅当AB过右焦点F′时等号成立. 此时4a=12,则a=3.故椭圆方程为+=1, 所以c=2,所以e==. 答案 14.设F1、F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60°,F1到直线l的距离为2. (1)求椭圆C的焦距; (2)假如=2,求椭圆C的方程. 解 (1)设椭圆C的焦距为2c,由已知可得F1到直线l的距离c=2,故c=2.所以椭圆C的焦距为4. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=2及l的倾斜角为60°,知y1<0,y2>0,直线l的方程为y=(x-2). 由消去x, 整理得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0. 解得y1=,y2=. 由于=2,所以-y1=2y2, 即=2·,解得a=3. 而a2-b2=4,所以b2=5.故椭圆C的方程为+=1. 15.(2022·陕西卷)已知椭圆+=1(a>b>0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足=,求直线l的方程. 解 (1)由题设知解得a=2,b=,c=1, ∴椭圆的方程为+=1. (2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1, ∴圆心到直线l的距离d=,由d<1,得|m|<.(*) ∴|CD|=2=2=. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得x2-mx+m2-3=0, 由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3. ∴|AB|= =. 由=,得=1,解得m=±,满足(*). ∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-.- 配套讲稿:
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