江苏省扬州中学2022届高三上学期10月月考试题-数学(理)-Word版含答案.docx
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江苏省扬州中学高三数学月考试卷 2021.10 数 学 (满分160分,考试时间120分钟) 一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.) 1. 已知集合M={x|x<1},N={x|lg(2x+1)>0},则M∩N= .(0,1) 2. 复数z=为纯虚数,则实数a的值为 .1 3. 不等式|x+1|·(2x―1)≥0的解集为 . {x|x=―1或x≥} 4. 函数f (x)=+a(x≠0),则“f (1)=1”是“函数f (x)为奇函数”的 条件(用“充分不必要”,“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写). 充要 5. m为任意实数时,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5必过定点_________.(9,-4) 6. 向量a=(1,2)、b=(-3,2),若(ka+b)∥(a-3b),则实数k=_________. 由题意知,a与b不共线,故k∶1=1∶(-3),∴k=- 7. 关于x的方程cos2x+4sinx-a=0有解,则实数a的取值范围是 . [-4,4] 8. 已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是________.4 解:x+2y=8-x·(2y)≥8-2,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4) (x+2y+8)≥0.又x+2y>0,∴x+2y≥4. 9. 已知点x,y满足不等式组,若ax+y≤3恒成立,则实数a的取值范围是__________.(-∞,3] 10. 已知△ABC是等边三角形,有一点D满足+·=,且||=,那么·= . 3 11. 若函数f (x)=mx2+lnx-2x在定义域内是增函数,则实数m的取值范围是_________.[,+∞) 解:f ¢(x)=2mx+-2≥0对x>0恒成立,2mx2+1-2x≥0∴2m≥=-+,令t=>0∴2m≥-t2+2t,∵max=1,∴2m≥1,∴m≥. 12. 已知函数f (x)=,若x1, x2∈R,x1≠x2,使得f (x1)=f (x2)成立,则实数a的取值范围是 . (-∞,4) 13. 将y=sin2x的图像向右平移φ单位(φ>0),使得平移后的图像仍过点,则φ的最小值为_______. 解法一:点代入y=sin(2x-2φ)∴sin(-2φ)=∴-2φ+=2kπ+或-2φ+=2kπ+∴φ=-kπ+或φ=-kπ∴φ的最小值为. 解法二:结合函数y=sin2x的图形. 14. 已知函数f (x)满足f (x)=f (),当x∈[1,3]时,f (x)=lnx,若在区间[,3]内,函数g(x)=f (x)-ax与x轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围是 . , 二、解答题(本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分) 已知直线和. 问:m为何值时,有:(1);(2). 解:(1)∵,∴,得或; 当m=4时,l1:6x+7y-5=0,l2:6x+7y=5,即l1与l2重合,故舍去. 当时,即 ∴当时,. ………7分 (2)由得或; ∴当或时,. ………14分 16. (本小题满分14分) 已知函数f (x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点M,且与x轴两个相邻的交点的距离为π. (1)求f (x)的解析式; (2)在△ABC中,a=13,f (A)=,f (B)=,求△ABC的面积. 解:(1)依题意知,T=2π,∴ω=1,∴f (x)=sin(x+φ) ∵f ()=sin(+φ)=,且0<φ<π ∴<+φ< ∴+φ= 即φ= ∴f (x)=sin=cosx. ………6分 (2)∵f (A)=cosA=,f (B)=cosB=, ∴A,B∈(0,) ∴sinA=,sinB= ………8分 ∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ………10分 ∵在△ABC中= ∴b=15. ………12分 ∴S△ABC=absinC=×13×15×=84. ………14分 17. (本小题满分15分) 已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为120º,当k为何值时, (1)ka-b与a-kb垂直; (2)|ka-2b|取得最小值?并求出最小值. 解:(1)∵ka-b与a-kb垂直,∴(ka-b)·(a-kb)=0. ∴ka2-k2a·b-b·a+kb2=0.∴9k-(k2+1)×3×2·cos120°+4k=0. ∴3k2+13k+3=0.∴k=. ………7分 (2)∵|ka-2b|2=k2a2-4ka·b+4b2=9k2-4k×3×2·cos120°+4×4 =9k2+12k+16=(3k+2)2+12. ∴当k=-时,|ka-2b|取得最小值为2. ………15分 18. (本小题满分15分) 如图①,一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C,村庄B与A、C的直线距离都是2km,BC与河岸垂直,垂足为D.现要修建电缆,从供电站C向村庄A、B供电.修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km. (1)已知村庄A与B原来铺设有旧电缆,但旧电缆需要改造,改造费用是0.5万元/km.现打算利用此段旧电缆修建供电线路,并要求水下电缆长度最短,试求该方案总施工费用的最小值. (2)如图②,点E在线段AD上,且铺设电缆的线路为CE、EA、EB.若∠DCE=θ(0≤θ≤),试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式,并求y的最小值. 解:(1)由已知可得△ABC为等边三角形,∵AD⊥CD,∴水下电缆的最短线路为CD. 过D作DE⊥AB于E,可知地下电缆的最短线路为DE、AB. ………3分 又CD=1,DE=,AB=2,故该方案的总费用为 1×4+×2+2×0.5=5+ (万元). …………6分 (2)∵∠DCE=θ (0≤θ≤) ∴CE=EB=,ED=tanθ,AE=-tanθ. 则y=×4+×2+(-tanθ)×2=2×+2 ……9分 令f (θ)= (0≤θ≤) 则f ¢(θ)== ,……11分 ∵0≤θ≤,∴0≤sinθ≤,记sinθ0=,θ0∈(0,) 当0≤θ<θ0时,0≤sinθ<,∴f ¢(θ)<0 当θ0<θ≤时,<sinθ≤,∴f ¢(θ)>0 ∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减,在(θ0,]上单调递增.……13分 ∴f (θ)min=f (θ0)==2,从而ymin=4+2,此时ED=tanθ0=, 答:施工总费用的最小值为(4+2)万元,其中ED=. ……15分 19. (本小题满分16分) 已知a为实数,函数f (x)=a·lnx+x2-4x. (1)是否存在实数a,使得f (x)在x=1处取极值?证明你的结论; (2)若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,求实数a的取值范围; (3)设g(x)=2alnx+x2-5x-,若存在x0∈[1, e],使得f (x0)<g(x0)成立,求实数a的取值范围. 解:(1)函数f (x)定义域为(0,+∞),f ¢(x)=+2x-4= 假设存在实数a,使f (x)在x=1处取极值,则f ¢(1)=0,∴a=2, ……2分 此时,f ¢(x)=, ∴当0<x<1时,f ¢(x)>0,f (x)递增;当x>1时,f ¢(x)>0,f (x)递增. ∴x=1不是f (x)的极值点. 故不存在实数a,使得f (x)在x=1处取极值. ………4分 (2)f ¢(x)==, ①当a≥2时,∴f ¢(x)≥0,∴f (x)在(0,+∞)上递增,成立; ………6分 ②当a<2时,令f ¢(x)>0,则x>1+或x<1-, ∴f (x)在(1+,+∞)上递增, ∵f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间,∴1+<3,解得:6<a<2 综上,a>-6. ………10分 (3)在[1,e]上存在一点x0,使得成立,即在[1,e]上存在一点,使得,即函数在[1,e]上的最小值小于零. 有 ①当,即时, 在上单调递减, 所以的最小值为,由可得, 由于,所以; ………12分 ②当,即时,在上单调递增, 所以最小值为,由可得; ………14分 ③当,即时,可得最小值为, 由于,所以, , 故 此时不存在使成立. 综上可得所求的范围是:或. ………16分 解法二:由题意得,存在x∈[1, e],使得a(lnx-)>x+成立. 令m(x)=lnx-,∵m(x)在[1, e]上单调递增,且m(1)=-1<0, m(e)=1->0 故存在x1∈(1,e),使得x∈[1, x1)时,m(x)<0;x∈(x1, e]时,m(x)>0 故存在x∈[1, x1)时,使得a<成立,·························(☆) 或存在x∈(x1, e]时,使得a>成立,·························(☆☆) ………12分 记函数F(x)=,F ¢(x)= 当1<x≤e时,(x2-1)lnx-(x+1)2=(x2-1)· ∵G(x)=lnx-=lnx--1递增,且G(e)=-<0 ∴当1<x≤e时,(x2-1)lnx-(x+1)2<0,即F ¢(x)<0 ∴F(x)在[1, x1)上单调递减,在(x1, e]上也是单调递减, ………14分 ∴由条件(☆)得:a<F(x)max=F(1)=-2 由条件(☆☆)得:a>F(x)min=F(e)= 综上可得,a>或a<-2. ………16分 20. (本小题满分16分) 已知常数a>0,函数f (x)=ax3-4(1-a)x,g(x)=ln(ax+1)-. (1)争辩f (x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若f (x)在上存在两个极值点x1、x2,且g(x1)+g(x2)>0,求实数a的取值范围. 解:(1)由题意可知:f ¢(x)=ax2-4(1-a) 当a≥1时,f ¢(x)>0,此时,f (x)在区间(0,+∞)上单调递增. 当0<a<1时,由f ¢(x)=0得:x1= (x2=-<0舍去) 当x∈(0, x1)时,f ¢(x)<0;当x∈(x1,+∞)时,f ¢(x)>0. 故f (x)在区间(0, x1)上单调递减,在区间(x1,+∞)上单调递增. 综上所述,当a≥1时,f (x)在区间(0,+∞)上单调递增; 当0<a<1时,f (x)在区间(0, )上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增. ………6分 (2)由(1)知,当a≥1时,f ¢(x)≥0,此时f (x)不存在极值点, 因而要使得f (x)有两个极值点,必有0<a<1. 又∵f (x)的极值点只可能是x1=和x2=-, 由g(x)的定义可知,x>-且x≠-2,∴->-且x≠2 解得:0<a<或<a<1 【定义域在这里很重要】 ………8分 此时,由(*)式易知,x1, x2分别是f (x)的微小值点和极大值点. 而g(x1)+g(x2)=ln(ax1+1)(ax2+1)-- =ln[a2x1x2+a(x1+x2)+1]-=ln(2a-1)2- =ln(2a-1)2--2 ………10分 令x=2a-1,由0<a<且a≠知,当0<a<时,-1<x<0;当<a<1时,0<x<1 ,记h(x)=lnx2+-2. ①当-1<x<0时,h(x)=2ln(-x)+-2, 设t=-x∈(0,1),j(t)=2lnt--2单调递增 ∴j(t)<j(1)=-4<0 ∴h(x)<-4<0,故当0<a<时,g(x1)+g(x2)<0,不合题意,舍去. ②当0<x<1时,h(x)=2lnx+-2,∴h¢(x)=-=<0, ∴h(x)在(0,1)上单调递减,∴h(x)>h(1)=0,故当<a<1时,g(x1)+g(x2)>0. 综上,a的取值范围为. ………16分 附加题 (考试时间:30分钟 总分:40分) 2021.10 21.(选修4—2:矩阵与变换)(本小题满分10分) 已知矩阵 (1)求; (2)满足AX=二阶矩阵X 解:(1) ………5分 (2) ………10分 22.(选修4—4:坐标系与参数方程)(本小题满分10分) 在极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ,以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数),求直线l被曲线C所截得的弦长. 解:曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,圆心为(1,1),半径为,(3分) 直线的直角坐标方程为x-y-=0,(5分) 所以圆心到直线的距离为d==,(8分) 所以弦长=2=.(10分) 23.(本小题满分10分) 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=AC=4,AA1⊥平面ABC; AB⊥AC, (1)求二面角A1-BC1-B1的余弦值; (2)在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,求的值. 解: (1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-, 则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为, 则,即, 令,则,,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量为, 所以. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角, 所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. ………5分 (2)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,,. 所以. 由,即.解得. 由于,所以在线段BC1上存在点D, 使得AD⊥A1B. 此时,. ………10分 24.(本小题满分10分) (1)证明:①;②(其中); (2)某个竞赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行,竞赛共设局,每局竞赛甲获胜的概率均为,首先赢满局者获胜(). ①若,求甲获胜的概率; ②证明:总局数越多,甲获胜的可能性越大(即甲获胜的概率越大). 解:(1)① ……2分 ②由① ……3分 (2)①若,甲获胜的概率 ……5分 ②证明:设乙每一局获胜的概率为,则. 记在甲最终获胜的概率为,则 所以, 所以 即总局数越多,甲获胜的可能性越大(即甲获胜的概率越大). ………10分- 配套讲稿:
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