【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章-知识归纳：变化率与导数.docx

3.2 导数的概念及其几何意义
变化率问题
1.平均变化率：已知函数y=f(x)，令Δx=，，则当时，比值=，称作函数f(x)从到得平均变化率.
2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.
3.求自变量的增量Δx=，
函数的增量
4.求平均变化率，要留意Δx、的值可正、可负，但，可为零，若函数f(x)为常值函数，则=0
导数的概念
1.导数：一般地，函数y=f(x)在处的瞬时变化率是= .我们称它为函数y=f(x)在处的导数，记作f′(x0)或f′(x0)，即f′(x0)=.
2.对导数的定义要留意两点：第一：Δx是自变量在处的该变量，所以Δx可正可负，但；其次：函数在某点的导数，就是在该点的函数值转变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.
3.求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是：
(1)求函数y=f(x)的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率;
(3)取极限，得函数f′(x0)=.
导数的几何意义
1.导数的几何意义

k=tanα=f′(x0)
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.
曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).
切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).
2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：
①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).
②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
特例：假如曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y轴，这时依据切线定义，可得切线方程为x=x0.
3.导数与切线的关系.
①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.
②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.
③f′(x0)=0，切线与x轴平行.
④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.