重庆市重庆一中2021-2022学年高二期中试题-数学(理)-Word版含答案.docx

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2021年重庆一中高2021级高二上期半期考试
数 学 试 题 卷（理科） 2021.12
数学试题共4页，共22个小题。满分150分。考试时间120分钟。
留意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必需使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦洁净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必需使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必需答在答题卡上相应的位置.
1. 直线的横、纵截距之和等于（ ）
A． B． C． D．
2.圆与圆（ ）
A．外离 B．外切 C． 相交 D．内切
3.已知球的表面积为,则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4.椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5.已知，命题，则（　 　）
A. 是真命题， B. 是真命题，
C. 是假命题， D. 是假命题，
6.已知直线与双曲线交于两点，若线段的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．

8.下列说法正确的个数有（　 　）个.
（1）若，垂直于同一平面，则与平行;
（2）“假如平面，那么平面内确定存在直线平行于平面”的逆否命题为真命题；
（3）“若，则方程表示双曲线”的否命题为真命题；
（4）“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 .
A.1 B.2 C.3 D.4
9.（原创）已知，直线和直线分别与圆
相交于和，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10.（原创）正项数列满足：（），则前2021项的和（ ）
A． B． C． D．
11.（原创）四周体中，，点、分别为、的中点，过点、和四周体的外接球球心的平面将四周体分成两部分，则较小部分的体积与四周体的体积之比为（ ）

A． B． C． D．
12. （原创）已知点为坐标原点，为椭圆的左焦点，点、在椭圆上，点、、满足，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)各题答案必需填写在答题卡相应的位置上.
13.在中，若, 则的面积等于 .
14.正四棱柱中，，，点是的中点,则异面直线与所成角的大小为 .
15.（原创）点为双曲线的右焦点，以为圆心的圆过坐标原点，且与双曲线的两渐近线分别交于、两点，若四边形是菱形，则双曲线的离心率为 .
16.（原创）设为抛物线的焦点，过抛物线外一点作抛物线的切线，切点为.若,则点的轨迹方程为 .

三、 解答题 ：(本大题6个小题，其中17题10分,其余每题12分,共70分)各题解答必需答在答题卡上相应题
目指定的方框内(必需写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).
17. 在等差数列中，.
(1) 求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.

18. 如图,在直三棱柱中,,,,点是的中点.
(1)求证：面； (2)求直线与平面所成角的余弦值.

19.(原创)已知中，内角的对边分别为，且成等差数列.
（1）求的值；
（2）若，求边的长.

20.（原创） 如图,已知四边形满足，是的中点,
将沿折成，使面，上一点．
(1)若为的中点，求证:；
(2)若，求二面角的余弦值.

21.（原创）已知点关于直线的对称点在抛物线的准线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与轴交于点，与抛物线交于两点． 是否存在定点，使得
为定值？若存在，请指出点的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

22. （原创）左、右焦点分别为的椭圆与焦点为的抛物线相交于两点，若四边形为矩形,且的周长为.
(1)求椭圆的方程；
(2) 过椭圆上一动点（不在轴上）作圆:的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点，为坐标原点，求的面积的取值范围.

命题人 王中苏
审题人 张 伟

2021年重庆一中高2021级高二上期半期考试
数 学 答 案（理科） 2021.12
一． 选择题 ACBDBC CBDDAC
10题提示：设，则，
再用三角换元或均值不等式可解.
二． 填空题
16题提示：（交轨法）设，则直线，
整体消参得.

三． 解答题
17. 解：⑴由a3＋a4＋a5＝，a9＝得, 所以；
⑵，
.
18.解:(1)如图，以为单位正交基底建立空间直角坐标系,

则,,,,，
∴, ，，
设平面的法向量为,由
∴ 取,得,∴平面的法向量为
由此可得，，
又平面，
所以面.

(2) ,设直线与平面所成角为,则
,又为锐角,
所以直线与平面所成角的余弦值为.
注：第⑴问可先证线线平行，或面面平行；第⑵问可用定义法或体积法.
19. 解:⑴成等差数列,

⑵成等差数列,

注:第⑵问可对角用余弦定理再得三边一等量关系,并联立第⑴问结果解关于的方程组可解.
20. 解:(1)取AE的中点M，连接，MD，
则AE，，所以，则,
为的中点,,所以,
所以.
(2)如图,分别以ME,MD,MB1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

设,则,
由得,
设平面的法向量为,则
取,则,,
设平面的法向量为,则
取,则,,
,依据的方向可得
二面角的余弦值为.
21. 解:⑴设,则
,所以抛物线的方程为.
⑵设
由
,

所以时,存在定点,使得=.

22. 解:⑴由题意可得,带入得,
又的周长为,
所以,
所以椭圆的方程为;
⑵设,则以线段为直径的圆的方程为,
又圆的方程为,
两式相减得直线的方程为.
由得

设，则

设，则且上单调递增，
所以的面积的取值范围为.