湖南省浏阳一中2022届高三上学期第一次月考试题-数学(理)-Word版含答案.docx

浏阳一中2021年下学期高三班级第一次月考理科数学试卷
本卷满分150分　　　考试时间120分钟
命题人：罗琼英 　　 审题人：袁怀庆
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题意的，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)
1.复数等于（ ）
A． B． C． D．
2.函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
3.两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离都等于a km，灯塔A在观看站C的北偏东20°，灯塔B在观看站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．a km B.a km
C．2a km D.a km
4.己知函数f（x）=，则f（5）的值为( )
A． B． C．1 D．
5.已知正数m是2,8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率为 ( )
A．或 B． C． D．或
6.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：
① 若； ② 若；
③ 若； ④ 若，则
其中正确命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4

7.某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则推断框内应为( 　)
A．k＞5? B．k＞4?
C．k＞7? D．k＞6?

8. 设向量与的模分别为6和5，夹角为120°，则等于( )
A． B． C． D．
9．从10名高三班级优秀同学中选择3人担当校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A．85 B．56 C．49 D．28
10.下列说法正确的是 （　 　）
A．命题“，”的否定是“，”.
B．命题 “已知，若，则或”是真命题 .
C．“在上恒成立”“在上恒成立”.
D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题.
11.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为( )
A． B． C． D．
12.已知都是定义在上的函数，，，且
，且，．若数列的前项和大于，
则的最小值为（　 　）
A．6 B．7 C．8 D．9

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)
13．若等比数列{ }的首项为，且，则公比等于_____________．
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为，设，则满足的概率为.
15．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于 .
16. 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）
17．（本题满分10分）己知其中∈（0，），且//。
（1）求sin的值；
（2）已知△ABC中，∠A=，BC=2+1，求边AC的最大值。

18．（本题满分12分）在数列中，已知．
（Ⅰ）求数列,的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前n项和．

19．（本题满分12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立.
（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望.

20．（本题满分12分）如图，三棱柱中，⊥面， ，，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

21．（本题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

22.（本题满分12分）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

2021年浏阳一中高三数学下学期第一次月考（理科）
本卷满分150分　　　　　　考试时间120分钟
命题人：罗琼英 　　　　　　审题：袁怀庆
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，计60分，每小题有四个选项，其中只有一项是符合题意的，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)
1．复数等于（ C ）
A． B． C． D．
2. 2.函数的零点所在区间是（ A ）
A． B． C． D．
3．两座灯塔A和B与海洋观看站C的距离都等于a km，灯塔A在观看站C的北偏东20°，灯塔B在观看站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ D ）
A．a km B.a km
C．2a km D.a km
4．己知函数f（x）=，则f（5）的值为( C )
A． B． C．1 D．
5.已知正数m是2,8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率为 ( B )
A．或 B． C． D．或
6. 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：
① 若； ② 若；
③ 若； ④ 若，则
其中正确命题的个数为（ B ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．某程序框图如图所示，若输出的S = 57，则推断框内应为( Ｂ 　)
A．k＞5? B．k＞4?
C．k＞7? D．k＞6?
8. 设向量与的模分别为6和5，夹角为120°，则等于( D )
A． B． C． D．
9．从10名高三班级优秀同学中选择3人担当校长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( C )
A．85 B．56 C．49 D．28
10.下列说法正确的是 （　Ｂ 　）
A．命题“，”的否定是“，”.
B．命题 “已知，若，则或”是真命题 .
C．“在上恒成立”“在上恒成立”.
D．命题“若，则函数只有一个零点”的逆命题为真命题.
11.由的图象向左平移个单位，再把所得图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为( B )
A． B． C． D．
12．已知都是定义在上的函数，，，且，且，．若数列的前项和大于，则的最小值
为（　A 　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】∵，∴，∵，
∴，即，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴数列为等比数列，∴，∴，即，
所以的最小值为6。
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把你认为正确的答案填在答题纸的相应位置)
13．若等比数列{ }的首项为，且，则公比等于_____________．３
14．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为，设，则满足的概率为
15．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于 .
16. 函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.1
【解析】由得，即，解得或。即，，所以，所以由图象可知要使直线与函数的图像有三个不同的交点，则有，即实数的取值范围是。不妨设，则由题意可知，所以，由得，所以，由于，所以，即存在最大值，最大值为1.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内）
17．（本题满分10分）
己知其中∈（0，），且//。
（1）求sin的值；
（2）已知△ABC中，∠A=，BC=2+1，求边AC的最大值。
解析：(1)由于，且//，
所以，
又∈（0，），，
所以；
(2) △ABC中，由正弦定理得：，即，所以，当且仅当sinB=1，即时AC取得最大值.
18．（本题满分12分）
在数列中，已知．
（Ⅰ）求数列,的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前n项和．
解：（ 1）∵,∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，∴．

（3）,
19．（本题满分12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，且各阶段通过与否相互独立.
（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为，求的分布列、数学期望.
解：（1）记“该选手通过初赛”为大事A，“该选手通过复赛”为大事B，“该选手通过
决赛”为大事C，则
那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率
． -------6分
（2）可能取值为1，2，3． -------7分

的分布列为：

1
2
3
P

-------10分
的数学期望 -------12分
20．（本题满分12分）
如图，三棱柱中，⊥面，
，，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
解: （Ⅰ）证明：依题可建立如图的空间直角坐标系，………1分
则C1（0，0，0），B（0，3，2），B1（0，0，2），
C（0，3，0），A（2，3，0）， D（1，3，0）， ………2分
设是面BDC1的一个法向量，则
即，取.
又,所以,即
∵AB1面BDC1，∴AB1//面BDC1． …………6分
（Ⅱ）易知是面ABC的一个法向量.
. …………7分
∴二面角C1—BD—C的余弦值为. …………12分
21．（本题满分12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线y＝kx＋m(k≠0，m≠0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，－1)，求实数m的取值范围．

解：(1)设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由已知得a＝，c＝2，
又a2＋b2＝c2，得b2＝1，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立，整理得(1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴，
可得m2＞3k2－1且k2≠. ①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为B(x0，y0)，则x1＋x2＝，x0＝＝，
y0＝kx0＋m＝，由题意，AB⊥MN，∵kAB＝＝－(k≠0，m≠0)，
整理得3k2＝4m＋1，② 将②代入①，得m2－4m＞0，∴m＜0或m＞4，
又3k2＝4m＋1＞0(k≠0)，即m＞－.∴m的取值范围是(－，0)∪(4，＋∞)．
22．（本题满分12分）
已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在其定义域内为增函数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）当时，函数， ． 　　　　　　　　　　　
，
曲线在点处的切线的斜率为．
从而曲线在点处的切线方程为，
即． ………4分
（Ⅱ）．
要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立.
即： 得： 恒成立.
由于 ，∴ ，∴
∴在内为增函数，实数的取值范围是. ………8分