2022届一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破:高考中的不等式问题.docx
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1、高考题专突破高考中的不等式问题考点自测1若a,b,cR,且ab,则下列不等式确定成立的是()Aacbc B(ab)c20Cacbc D.0答案B解析A项:当cbab0,由于c20,所以(ab)c20.故选B.2已知函数f(x)则不等式x(x1)f(x1)1的解集是()Ax|1x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|1x1答案C解析由题意不等式x(x1)f(x1)1等价于(1)或(2)解不等式组(1)得x1;解不等式组(2)得1x1.故原不等式的解集是x|x1,选C.3若x、y满足条件当且仅当xy3时,zaxy取得最大值,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析直线3x5y60和直线2x
2、3y150的斜率分别为k1,k2.作可行域如图所示,当且仅当直线zaxy过点(3,3)时,z取得最大值,则直线zaxy的斜率a满足a,解得a0),化简得q2q20,解得q2或q1(舍去)由4a1,得a1qm1a1qn116a,qmn21624,mn6,()(5)(52),当且仅当,即m2,n4时,取“”5(2021课标全国)若存在正数x使2x(xa)0,所以由2x(xa)1得xa0时,g(x)2x0,使2x(xa)1,即f(x)g(x),则有a1,所以选D.题型一含参数不等式的解法例1解关于x的不等式ax222xax (aR)解原不等式可化为ax2(a2)x20(ax2)(x1)0.当a0时,
3、原不等式化为x10x1.当a0时,原不等式化为(x1)0x或x1.当a1,即a2时,解得1x;当1,即a2时,解得x1;当2,解得x1.综上所述,当a2时,原不等式的解集为;当a2时,原不等式的解集为1;当2a0时,原不等式的解集为(,1.思维升华解含参数的一元二次不等式的步骤(1)若二次项含有参数应争辩是否等于0,小于0,和大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)推断方程的根的个数,争辩判别式与0的关系(3)当方程有两个根时,要争辩两根的大小关系,从而确定解集形式(1)若0a0的解集是_(2)关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1,x2),且x2x115,则a等于_答案
4、(1)(a,)(2)解析(1)原不等式即为(xa)(x)0,由0a1得a,ax.(2)由x22ax8a20,得(x2a)(x4a)0,不等式x22ax8a20的解集为(2a,4a)又不等式x22ax8a20,于是目标函数等价于zx2y4,即转化为一般的线性规划问题明显,当直线经过点B时,目标函数取得最大值,zmax21.(2)设生产甲种肥料x车皮,生产乙种肥料y车皮,则z10 000x5 000y,约束条件为画出图形如图所示,由图可知,在D(2,2)处有最大值,且zmax10 00025 000230 000(元)题型三基本不等式的应用例3近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,打
5、算安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后接受太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费C(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)(x0,k为常数)记y为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和(1)试解释C(0)的实际意义,并建立y关于x的函数关系式(2)当x为多少平方米时,y取得最小值?最小值是多少万元?解(1)C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积
6、为0时的用电费用,即未安装太阳能供电设备时,该企业每年消耗的电费由C(0)24,得k2 400,所以y150.5x0.5x,x0.(2)由于y0.5(x5)2.522.557.5,当且仅当0.5(x5),即x55时取等号,所以当x为55平方米时,y取得最小值为57.5万元思维升华(1)此类问题的背景往往是人们关怀的社会热点问题,题目往往较长,解题时需认真阅读,从中提炼出有用信息,建立数学模型,转化为数学问题求解(2)应用基本不等式求最值要留意检验等号成立的条件,不要忽视问题的实际意义(1)设x,y均为正实数,且1,则xy的最小值为()A4 B4C9 D16(2)某栋楼的建筑成本由土地使用权费和
7、材料工程费构成,已知土地使用权费为2 000元/m2;材料工程费在建筑第一层时为400元/m2,以后每增加一层费用增加40元/m2.要使平均每平方米建筑面积的成本费最低,则应把楼盘的楼房设计成_层答案(1)D(2)10解析(1)由1可得xy8xy.x,y均为正实数,xy8xy82(当且仅当xy时等号成立),即xy280,解得4,即xy16,故xy的最小值为16.(2)设应把楼房设计成x层,每层有面积y m2,则平均每平方米建筑面积的成本费为k20x3802 380780,当且仅当20x,即x10时取等号,故应把楼房设计成10层题型四不等式恒成立问题例4(1)已知任意非零实数x,y满足3x24x
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