2020-2021学年高中数学(北师大版-选修2-1)课时作业-模块综合检测(A).docx

模块综合检测(A)
(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．命题“若A⊆B，则A＝B”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是(　　)
A．0 B．2 C．3 D．4
2．已知命题p：若x2＋y2＝0 (x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．以－＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
4．已知椭圆＋＝1 (a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)
A．椭圆 B．圆
C．双曲线的一支 D．线段
5．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
6．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，假如x1＋x2＝6，那么|AB|等于(　　)
A．10 B．8 C．6 D．4
7．中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为(　　)
A. B. C. D.
8．若A，B两点的坐标分别是A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是(　　)
A．[0,5] B．[1,5]
C．(1,5) D．[1,25]
9．设O为坐标原点，F1、F2是－＝1(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±y＝0 D.x±y＝0
10．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1、B1C1的中点，若∠CMN＝90°，则异面直线AD1与DM所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°

题　号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答　案

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)
11．若向量a＝(1,0，z)与向量b＝(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z＝________.
12．已知p(x)：x2＋2x－m>0，假如p(1)是假命题，p(2)是真命题，那么实数m的取值范围是_______________________________________________________________．
13．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为____________________ ____________________________________________________．
14．若AB是过椭圆＋＝1 (a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝________.
15．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)已知p：2x2－9x＋a<0，q：，
且綈q是綈p的必要条件，求实数a的取值范围．

17．(12分)设P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2是其焦点，若∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．

18.(12分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A，B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．

19．(12分)

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
证明：(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.

20.(13分)已知两点M(－2,0)、N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．

21．(14分)

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值．
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

模块综合检测(A)
1．B　[原命题为假，故其逆否命题为假；其逆命题为真，故其否命题为真；故共有2个真命题．]
2．B　[命题p为真，命题q为假，故p或q真，綈q真．]
3．D　[双曲线－＝－1，即－＝1的焦点为(0，±4)，顶点为(0，±2)．所以对椭圆＋＝1而言，a2＝16，c2＝12.∴b2＝4，因此方程为＋＝1.]
4．A　[∵P为MF1中点，O为F1F2的中点，
∴|OP|＝|MF2|，又|MF1|＋|MF2|＝2a，
∴|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝a.
∴P的轨迹是以F1，O为焦点的椭圆．]
5．D　[

如图所示，建立坐标系，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，
即sin α＝.]
6．B　[由抛物线的定义，
得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]
7．D　[由题意知，过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，∴－2＝－×4，∴a＝2b，
设b＝k，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.]
8．B　[||＝

＝
＝.
由于－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤13－12cos(α－θ)≤25，所以||∈[1,5]．]
9．D

　[如图所示，∵O是F1F2的中点，∴＋＝2，
∴(＋)2＝(2)2.
即||2＋||2＋
2||·||·cos 60°＝4||2.
又∵|PO|＝a，
∴||2＋||2＋||||＝28a2.①
又由双曲线定义得|PF1|－|PF2|＝2a，
∴(|PF1|－|PF2|)2＝4a2.
即|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2.②
由①－②得|PF1|·|PF2|＝8a2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20a2.
在△F1PF2中，由余弦定理得
cos 60°＝，
∴8a2＝20a2－4c2.即c2＝3a2.
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝2a2.
即＝2，＝.
∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0.]
10．D　[

建立如图所示坐标系．设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则A1(b,0,0)，A(b,0，c)，C1(0，a,0)，
C(0，a，c)，B1(b，a,0)，
D(0,0，c)，N，M.
∵∠CMN＝90°，∴⊥，
∴·＝·
＝－b2＋c2＝0，∴c＝b.
∴·＝(－b,0，－b)·
＝－b2＋b2＝0，
∴AD1⊥DM，即异面直线AD1与DM所成的角为90°.]
11．0
解析　设两个向量的夹角为θ，
则cos θ＝
＝＝，
解得z＝0.
12．[3,8)
解析　由于p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，
即m≥3.又由于p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，
即m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.
13.－＝1
解析　由双曲线－＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x得＝，∴b＝a.
∵抛物线y2＝16x的焦点为F(4,0)，∴c＝4.
又∵c2＝a2＋b2，∴16＝a2＋(a)2，
∴a2＝4，b2＝12.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
14．－
解析　设A(x1，y1)，M(x0，y0)，
则B(－x1，－y1)，
则kAM·kBM＝·＝
＝＝－.
15.
解析　

建系如图，
则M，N，
A(1,0,0)，C(0,1,0)
∴＝，
＝.
∴cos〈，〉＝＝＝.
即直线AM与CN所成角的余弦值为.
16．解　由，得，
即2<x<3.∴q：2<x<3.
设A＝{x|2x2－9x＋a<0}，B＝{x|2<x<3}，
∵綈p⇒綈q，∴q⇒p，∴B⊆A.
即2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0.
设f(x)＝2x2－9x＋a，
要使2<x<3满足不等式2x2－9x＋a<0，
需，即.
∴a≤9.故所求实数a的取值范围是{a|a≤9}．
17．解　如图所示，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，

则S△F1PF2＝mnsin ＝mn.
由椭圆的定义知
|PF1|＋|PF2|＝20，
即m＋n＝20.①
又由余弦定理，得
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos
＝|F1F2|2，
即m2＋n2－mn＝122.②
由①2－②，得mn＝.
∴S△F1PF2＝.
18．解　(1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－<a<且a≠±.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
19.

证明　(1)以D为坐标原点，以DA、DC、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
连结AC，AC交BD于G.
连结EG.设DC＝a，
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E，
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心，
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝.
∴＝2，即PA∥EG.
而EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)．
又＝，故·＝0＋－＝0，
∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
所以PB⊥平面EFD.
20．解　设P(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，
＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝，
·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，
化简整理，得y2＝－8x.
故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝－8x.
21．解　设正方体的棱长为1，如图所示，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.

(1)依题意，得B(1,0,0)，
E(0,1，)，A(0,0,0)，
D(0,1,0)，
所以＝(－1,1，)，
＝(0,1,0)．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，由于AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量．设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，则
sin θ＝＝＝.
故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.
(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.
证明如下：
依题意，得A1(0,0,1)，＝(－1,0,1)，
＝(－1,1，)．
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由n·＝0，n·＝0，
得
所以x＝z，y＝z，取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设F是棱C1D1上的点，则F(t,1,1)(0≤t≤1)．
又B1(1,0,1)，所以＝(t－1,1,0)．
而B1F平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1 ＝0⇔t＝⇔F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.