2020-2021学年北师大版高中数学必修2双基限时练16.docx

双基限时练(十六)
一、选择题
1．设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．3πa2 B．6πa2
C．12πa2 D．24πa2
解析　由题意得，2R＝＝a，
∴R＝a，∴球的表面积S＝4πR2＝6πa2.
答案　B
2．已知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(　　)

A．4π B．3π
C．2π D．π
解析　由三视图可知，该几何体为半径为1的半球体，
∴S表＝πr2＋2πr2＝3πr2＝3π.
答案　B
3．若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积之比为(　　)
A．1:2:3 B．2:3:4
C．3:2:4 D．3:1:2
解析　V圆柱＝2πR3，V圆锥＝πR2·(2R)＝R3，
V球＝πR3.则体积之比为：2: :即3:1:2.
答案　D
4．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B．4π
C．4π D．6π
解析　如图，设平面α截球O所得圆的圆心为O1，则|OO1|＝，|O1A|＝1，∴球的半径R＝|OA|＝＝.
∴球的体积V＝πR3＝4π.故选B.

答案　B
5．如图，正四棱锥P—ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，假如VP—ABCD＝，那么球O的表面积是(　　)

A．4π B．8π
C．12π D．16π
解析　由题意，可得AB＝R，PO＝R，又VP—ABCD＝(R)2R＝，得R＝2，∴S表＝4πR2＝16π.
答案　D
6．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲，一个直径为a的球记其体积为V乙，表面积为S乙，则(　　)
A．V甲>V乙，S甲>S乙 B．V甲<V乙，S甲>S乙
C．V甲＝V乙，S甲>S乙 D．V甲＝V乙，S甲<S乙
解析　V甲＝64×π×3＝πa3，
S甲＝64×4π×2＝4πa2，
V乙＝π×3＝πa3，
S乙＝4π×2＝πa2，
∴V甲＝V乙，S甲>S乙．
答案　C
二、填空题
7．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4π，则该正方体的表面积为________．
解析　设正方体的棱长为a，球的半径为r，则2r＝a，
∴a＝r，∵πr3＝4π，∴r＝，∴a＝2.
∴S表＝6a2＝24.
答案　24
8．圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于该容器的水中，若取出两个小球，则容器的水面将下降________．
解析　由题意，得2×π×3＝π×52×h，得h＝.
答案　 cm
9．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都是在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为________．
解析　球的半径R＝＝1，
故V球＝πR3＝π.
答案　π
三、解答题
10．已知某几何体的三视图如图所示，求它的体积和表面积．

解　由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了部分得到的几何体，∴其体积V＝V球＝×π×13＝π，S表＝×4π×12＋3×π×12＝π.
11．一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积恰好与半球的体积相等，求这个圆锥的高与球的半径之比．
解　如图，作出轴截面，设公共底面圆的半径为R，圆锥的高为h.

∴V锥＝πR2h，V半球＝·πR3.
∵V锥＝V半球，
∴h＝2R，即h:R＝2:1.
12．桌面上有三个半径均为r的小球，它们两两相切，现有第四个半径为r的小球放在三个小球上面，且与这三个小球都相切，求第四个小球的球心离桌面的距离．

解　如图所示，设桌面上三个小球的球心分别为O1，O2，O3，第四个小球的球心为O4.因每两个小球都相切，所以O1，O2，O3，O4构成一个棱长都为2r且各面都全等的正三角形的三棱锥．
设O4在平面O1O2O3的正投影为O，则O4到桌面的距离为O4O＋r.
连接O3O，由于O为正三角形△O1O2O3的中心，

∴OO3＝××2r＝r.
∴O4O＝＝r.
因此，第四个小球的球心离桌面的距离为r.
思 维 探 究
13．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为多少？
解　如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r，由题意得πr2＝×4πR2.

∴r＝R，∴OO1＝R.
体积较小的圆锥的高AO1＝R－R＝R，体积较大的圆锥的高BO1＝R＋R＝R.故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.