少学时线性代数教学方法探讨.pdf
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1、124教研园地JIAO YAN YUAN DI少学时线性代数教学方法探讨陈莺江苏警官学院(江苏省南京市210031)摘要:本文论述了少学时线性代数教学中存在的一些问题,并对如何推进线性代数的教学进行了思考和探讨。教师应把握主线整合教学内容,使用 PIPA 过程教学,提高教学质量。关键词:线性代数教学内容教学方法线性代数是高等院校本科专业的一门重要的数学基础理论课,对各专业的后续课程学习起着重要的作用。该课程抽象程度高、理论体系复杂,是公认的教学难度较大的课程。然而各高校普遍存在课时少、内容多的实际状况(比如我校安排 34学时,除去复习考试,实际授课仅有 28 学时)。这势必造成教学中理论多、例
2、题少,多数学生在学习过程中感到课程枯燥乏味,内容不连贯,教学效果不甚理想。本人结合自己多年的教学实践与学习,根据线性代数课程内容特点,优化教学内容安排,在较少的学时内使学生尽量掌握线性代数的基本思想,为后续专业课学习奠定良好的基础。1课程内容分析目前多数高校线性代数的教学内容基本相同,一般包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与二次型、线性空间与线性变换六大部分内容。每一部分都有大量的概念定理需要讲解,还有大量冗繁的计算。在课时少的情况下有些内容就得不到细致的讲解,这容易使学生产生不知所云之感,不能达到良好的教学效果。因此需要对教学内容进行整合和优化。这六部分内容可划分成三
3、个层面。第一层面内容包括行列式、矩阵、线性方程组的解、向量组的线性相关性;第二层面为相似矩阵与二次型;第三层面为线性空间与线性变换。1本校囿于课时原因,只讲解第一层面。第一层面核心是线性方程组,它既是中学数学与大学数学的连接点,也是第二、三层面理论发展的推动力。以线性方程组为核心主线有利于启发学生由已知向未知转化,由特殊向一般过渡,在思维层面上由形象向抽象提高认识。2把握内容主线如果教师孤立的对每一章做详细的讲解,学生只能掌握一些支离破碎的概念、定理、性质和解题方法,无法将所学知识融为一个有机的整体,更无法体会到线性代数的实质。仔细分析课程各部分内容会发现线性方程组的理论贯穿了课程的始终。如行
4、列式、矩阵、向量、向量组等概念产生的背景,都可看成从线性方程组引申而来,反过来这些概念又为线性方程组服务。而且线性方程组消元法的求解,学生在中学就接触过,从线性方程组着手讲解新的概念理论,采用启发式教学,能完成新旧知识的自然过渡,激发学主动学习的积极性。少学时线性代数研究的主线可归结为下列线性方程组11 11221121 1222221 122(*)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb+=+=+=解的研究。(1)求解线性方程组与矩阵的定义与运算线性方程组求解过程书写冗繁,为了表达的简洁,引入矩阵定义和运算概念。设111212122212=()nnijm
5、nmmmnaaaaaaAaaaa=,1122,nmxbxbxbxb=,这样线性方程组(*)可简洁表示为Axb=。(2)求解线性方程组与矩阵的初等变换用高斯消元法解线性方程组,做同解变化的过程就是对(*)的增广矩阵11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab=做初等行变换,得到1,1112,122,1+1100010001000000000rnrnr rrnrrccdccdccdd+,转化得到(*)的同解方程组,从而得到(*)的解的情况。(3)求解线性方程组与矩阵的秩。线性方程组(*)有解,即没有矛盾方程,其对应的矩阵表达为它的系数矩阵 A 的秩和它增广矩阵 B 的秩相等
6、。线性方程组(*)有唯一解,即有效方程个数与未知量个数相等,对应矩阵表达为()()r Ar Bn=;线性方程组线性方程组(*)125 教研园地JIAO YAN YUAN DI有无穷多个解,即有效方程个数少于未知量个数,对应矩阵表达为()()r Ar Bn=。(4)求解线性方程组与向量组的线性相关线性方程组(*)中,若设 m 维向量12(,),1,2,Tjjjmjaaajn=,则线性方程组(*)可以转化为向量表达式1122nnxxxb+=。线性方程组(*)有解的充分必要条件是向量 b 能由向量组12,n 线性表示,或者说向量组12,nb 线性相关。如果线性方程组(*)有唯一解,则向量 b 能由向
7、量组12,n 线性表示且表示法唯一;如果线性方程组(*)有无穷多解,则向量 b 能由向量组12,n 线性表示但表示法不唯一。(5)求解线性方程组与特征值、特征向量数 是 否 是 方 阵 A 的 特 征 值 归 结 为 齐 次 线 性 方 程 组|E-A|=0 有无非零解。通过以上案列可以清楚地看到,线性代数中很多问题都可以转化为对线性方程组的研究。因此教师在教学过程中也应将线性方程组理论这条主线贯穿于整个线性代数课程的教学过程中,从而使学生对课程有一个整体的认识与把握2。学生在学习过程中只要抓住这条主线,学习起来就不会感到毫无头绪了。3遵循 PIPA 过程讲解研究学生如何理解数学概念以及学生如
8、何进行数学学习的心理构建过程,对于改进教学有重要作用。杜宾斯基的APOS 理论、韬尔的过程性概念等,都为研究学生学习中的心理构建过程奠定了理论基础3。目前教科书中一般采取“定义-引理-证明-定理-证明-推论”模式,这个模式对于大多数学生而言是一个糟糕的体验。教师在进行基本概念理论教学时,应遵循更符合学生认知的 PIPA 过程”问题problem-直 觉 intuition-证 明 proof-应 用 application”4。在介绍新的概念之前,教师把相关问题背景讲解清楚;鼓励学生针对相应的问题根据直觉自己解答;教师介绍关于某个问题或概念的结论并证明,要强调证明过程中所用的方法;概念和结论的
9、应用,可以是适当的例题和习题。(1)问题线性代数的某些抽象概念来自于学生实际还没学过的课程。如果按照教科书上那样直接写出诸如线性无关之类的定义,那么大多数学生理解起来是有难度的。教师在教学时要按照从特殊到一般,从已知到未知的思想方法,从具体问题着手。为了引入抽象概念,教师注意把握线性方程组这个主线,充分利用学生已经掌握的概念,选择学生相对说来容易理解的问题。比如从高斯消元法求解线性方程组的结论中,引入初等变换、矩阵表达与运算、向量的表达和向量组线性表示的概念,进而引入向量组的秩和矩阵秩的概念。从学生利用已知的知识提出学生能够理解的问题,进而过渡到新的概念理论,可有效降低学生的畏难心理,提高学生
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