2021届高考文科数学二轮复习提能专训5-集合与常用逻辑用语.docx

提能专训(五)　集合与常用规律用语　
A组
一、选择题
1．(2022·绵阳其次次诊断)已知集合S＝{1,2}，集合T＝{x|(x－1)(x－3)＝0}，那么S∪T＝(　　)
A．∅　　　　　　　　　　 B．{1}　　　
C．{1,2}　　　　　　　　　　 D．{1,2,3}
答案：D
解析：依题意，得T＝{1,3}，S∪T＝{1,2,3}，故选D.
2．(2022·北京西城期末)设集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x||x|≤1}，则集合A∩B＝(　　)
A．(0,1) B．(0,1]
C．(1,2) D．[1,2)
答案：B
解析：由|x|≤1，得－1≤x≤1，即B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}．
3．(2022·温州十校联考)已知全集U＝R，集合A＝，则集合∁UA等于(　　)
A．{x|x＜－2或x＞0}
B．{x|x≤－2或x＞0}
C．{x|x＜－2或x≥0}
D．{x|x≤－2或x≥0}
答案：C
解析：∵A＝＝{x|－2≤x＜0}，∴∁UA＝{x|x＜－2或x≥0}，故选C.
4．(2022·衡水中学其次次调研)已知R是实数集，M＝，N＝{y|y＝＋1}，则N∩∁RM＝(　　)
A．(1,2) B．[0,2]
C．∅ D．[1,2]
答案：D
解析：∵＜1，∴＞0，∴x＜0或x＞2，∴M＝{x|x＜0或x＞2}，∴∁RM＝{x|0≤x≤2}．∵y＝＋1，∴y≥1，∴N＝{y|y≥1}，∴N∩∁RM＝[1,2]，故选D.
5．(2022·郑州质检一)已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}且A⊆∁RB，那么m的值可以是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：A
解析：由B＝{x|x＜2m}，得∁RB＝{x|x≥2m}，∵A⊆∁RB，∴2m≤2，∴m≤1，故选A.
6．(2022·济南模拟)已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|y＝lg(x2＋x)}，设U＝R，则A∩(∁UB)等于(　　)
A．[3，＋∞) B．(－1,0]
C．(3，＋∞) D．[－1,0]
答案：B
解析：由于x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－1，所以∁UB＝[－1,0]，又A＝(－1,3)，所以A∩(∁UB)＝(－1,0]．
7．(2022·湖北八校联考)设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)＜1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)

A．{x|x≥1} B．{x|x≤1}
C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}
答案：D
解析：由题意，得x(x－2)＜0，得0＜x＜2，即A＝(0,2)；由1－x＞0，得x＜1，即B＝(－∞，1)，因此图中阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝[1,2)，故选D.
8．(2022·长沙模拟三)已知集合M＝， N＝{(x，y)|y＝k(x－b)}，若∃k∈R，使得M∩N＝∅成立，则实数b的取值范围是(　　)
A．[－3,3] B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案：B
解析：集合M表示椭圆上的点集，集合N表示过点(b,0)的直线的点集．∃k∈R，使得M∩N＝∅成立，即表示存在过定点(b,0)的直线与椭圆没有交点，即定点(b,0)在椭圆外面，故＋0＞1，得b＞3或b＜－3，故选B.
9．(2022·广东七校联考)已知全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜9，x∈R}和B＝{x|－4＜x＜4，x∈Z}关系的韦恩图如图所求，则阴影部分所求集合中的元素共有(　　)

A．3个 B．4个
C．5个 D．无穷多个
答案：B
解析：由韦恩图可知，阴影部分可表示为(∁UA)∩B.由于∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁UA)∩B＝{x|－4＜x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．
10．(2022·上海十三校调研)集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈N*，且x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}，若(x，y，z)∈S，且(z，w，x)∈S，则下列选项正确的是(　　)
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
答案：B
解析：由于(x，y，z)∈S，所以x＜y＜z或y＜z＜x或z＜x＜y；又由于(z，w，x)∈S，所以z＜w＜x或w＜x＜z或x＜z＜w.两者结合有w＜x＜y＜z或x＜y＜z＜w或y＜z＜w＜x或z＜w＜x＜y.同理，若(y，z，w)∈S，则有y＜z＜w或z＜w＜y或w＜y＜z；若(x，y，w)∈S，则有x＜y＜w或y＜w＜x或w＜x＜y.两者结合有x＜y＜z＜w或y＜z＜w＜x或z＜w＜x＜y或w＜x＜y＜z .故选B.
二、填空题
11．(2022·南京一模)已知集合A＝{－3，－1,1,2}，集合B＝[0，＋∞)，则A∩B＝________.
答案：{1,2}
解析：由于A＝{－3，－1,1,2}，集合B＝[0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}．
12．(2022·济南四校联考)已知集合U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，∁UA＝{5}，则实数a的值为________．
答案：2
解析：依据已知，得解得a＝2.

13．(2022·上海模拟)如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合，若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A*B＝________.
答案：[0,1]∪(2，＋∞)
解析：∵A＝{x|y＝}＝[0,2]，B＝{y|y＝3x，x＞0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝(1,2]，∴A*B＝[0,1]∪(2，＋∞)．
14．(2022·上海嘉定一模)设集合A＝{(x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，若存在实数t，使得A∩B≠∅，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：集合A表示的是以(4,0)为圆心，半径为1的圆，集合B表示的是以(t，at－2)为圆心，半径为1的圆．A∩B≠∅说明这两个圆至少有一个交点，故≤1＋1＝2，
即(a2＋1)t2－4(a＋2)t＋16≤0，据题意此不等式有实数解，故判别式Δ＝16(a＋2)2－4(a2＋1)×16≥0，即3a2－4a≤0，解得0≤a≤.
15．(2022·上海徐汇、金山、松江二模)对于集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)，定义集合S＝{x|x＝ai＋aj,1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S(A)．若a1，a2，…，an是公差大于零的等差数列，则S(A)＝________.
答案：2n－3
解析：由题意，集合S中最小项为a1＋a2＝2a1＋d，最大项为an－1＋an＝2a1＋(2n－3)d，对任意的i(1≤i≤2n－3)，假如i≤n－1，则可取2a1＋id＝a1＋(a1＋id)＝a1＋ai＋1∈S，若n≤i≤2n－3，可取2a1＋id＝a1＋(n－1)d＋a1＋(i－n＋1)d＝an＋ai－n＋2，明显由于n≤i≤2n－3，有2≤i－n＋2≤n－1，即2a1＋id∈S，所以S(A)＝2n－3.
16．(2022·北京昌平期末质量抽测)将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，其中A＝{a1，a2，…，an}，B＝{b1，b2，…，bn}，C＝{c1，c2，…，cn}，若A，B，C中的元素满足条件：c1＜c2＜…＜cn，ak＋bk＝ck(k＝1,2,3，…，n)，则称M为“完并集合”．
(1)若M＝{1，x,3,4,5,6}为“完并集合”，则x的一个可能值为________(写出一个即可)；
(2)对于“完并集合”M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，在全部符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是________．
答案：(1)7(9或11)(写出一个即可)　(2){6,10,11,12}
解析：(1)M＝{1，x,3,4,5,6}共有6个元素，所以3个集合A，B，C中各有2个元素，由于ak＋bk＝ck，所以集合C中必含有6个元素中最大的一个．当x＜6时，由集合元素的互异性可知x＝2，此时不能满足ak＋bk＝ck，故舍去．当x＞6时，C＝{6，x}，当1＋5＝6时，3＋4＝x，此时x＝7.当C＝{5，x}时，1＋4＝5,3＋6＝x，此时x＝9.当C＝{4，x}时，1＋3＝4,5＋6＝x，此时x＝11.当集合C中另一个元素小于等于3时，已不能满足ak＋bk＝ck，故舍去．所以x的可能取值为7,9,11.
(2)M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}共含有12个元素，所以集合C中含有元素4个．其中包含最大的元素12.集合C的全部可能有{8,9,10,12}，{7,9,11,12}，{6,10,11,12}．经计算可知，元素乘积最小的集合是{6,10,11,12}．
B组
一、选择题
1．(2022·上海高考)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
答案：B
解析：本题主要考查充分必要条件的推断，考查考生分析、解决问题的力量．
若a>2且b>2，则a＋b>4，但当a＝4，b＝1时也有a＋b>4，故选B.
2．(2022·广州综合检测)命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是(　　)
A．存在x0∈R，使得x＞x
B．不存在x0∈R，使得x＞x
C．存在x0∈R，使得x≤x
D．对任意x∈R，都有x3≤x2
答案：C
解析：全称命题的否定是特称命题，易得命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是“存在x0∈R，使得x≤x”，故选C.
3．(2022·湖北七市联考)下列说法错误的是(　　)
A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”
B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假
C．若x，y∈R，则“x＝y”是“xy≥2”的充要条件
D．若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≥0
答案：B
解析：对于B选项，若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，所以B错误，故选B.
4．(2022·成都其次次诊断)设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0；命题q：∀x，y∈R，且x≠＋kπ，y≠＋kπ，k∈Z，若x＞y，则tan x＞tan y．则下列命题中真命题是(　　)
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
答案：B
解析：当α0＝，β0＝－时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题．故p∧(綈q)为真命题．
5．(2022·北京海淀统考)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}是等差数列，不是等比数列，因此充分性不成立．当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.
6．(2022·吉林试验中学一模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：A
解析：l⊥平面α，α∥β，∴l⊥β.又∵m⊂β，∴l⊥m.但是l⊥m不能推出α∥β.
7．(2022·北京海淀模拟)在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得＝λ，＝λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：由∃λ∈R，使得＝λ，＝λ得AB∥CD，AD∥BC，四边形ABCD为平行四边形；反过来，由四边形ABCD为平行四边形得＝1·，＝1·.因此，在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得＝λ，＝λ”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，故选C.
8．(2022·衡水中学二调)给定命题p：函数y＝ln[(1－x)(1＋x)]为偶函数；命题q：函数y＝为偶函数，下列说法正确的是(　　)
A．p∨q是假命题 B．(綈p)∧q是假命题
C．p∧q是真命题 D．(綈p)∨q是真命题
答案：B
解析：对于命题p：y＝f(x)＝ln[(1－x)(1＋x)]，
令(1－x)(1＋x)＞0，得－1＜x＜1，
∴函数f(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，
∵f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，∴命题p为真命题；
对于命题q：y＝f(x)＝，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，∵f(－x)＝＝＝＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，∴命题q为假命题，
∴(綈p)∧q是假命题，故选B.
9．(2022·东北三省二模)已知p：x≥k，q：＜1，假如p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
答案：B
解析：q：＜1⇒－1＜0⇒＜0⇒(x－2)(x＋1)＞0⇒x＜－1或x＞2.由于p是q的充分不必要条件，所以k＞2，故选B.
10．(2022·南昌二模)下列说法正确的是(　　)
A．命题“存在x0∈R，x＋x0＋2 013＞0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2 013＜0”
B．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件
C．函数f(x)＝在其定义域上是减函数
D．给定命题p，q，若“p且q”是真命题，则綈p是假命题
答案：D
解析：对于A，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x0∈R，x＋x0＋2 013＞0”的否定是“任意x∈R，x2＋x＋2 013≤0”，故A不正确．对于B，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B不正确．对于C，函数f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x1＝－1，x2＝1，有x1＜x2，且f(x1)＝－1，f(x2)＝1，则f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)＝在其定义域上不是减函数，故C不正确．对于D，由于“p且q”是真命题，则p，q都是真命题，所以綈p是假命题，故D正确．
二、填空题
11．(2022·湖北重点中学统一考试)已知r(x)：sin x＋cos x＞m；s(x)：x2＋mx＋1＞0.假如∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题，则实数m的取值范围是________．
答案：(－∞，－2]∪[，2)
解析：由sin x＋cos x＝sin，故sin x＋cos x的最小值为－，若∀x∈R时，命题r(x)为真命题，则m＜－.若命题s(x)为真命题，即∀x∈R，不等式x2＋mx＋1＞0恒成立，则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.若命题r(x)为真命题，命题s(x)为假命题，则m≤－2；若命题r(x)为假命题，命题s(x)为真命题，则－≤m＜2.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，－2]∪[－，2)．
12．(2022·吉林高校附属中学一模)设a为实常数，y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝9x＋＋7.若“∃x∈[0，＋∞)，f(x)＜a＋1”是假命题，则a的取值范围为________．
答案：
解析：y＝f(x)是定义在R上的奇函数，故可求解析式为f(x)＝
又“∃x≥0，f(x)＜a＋1”是假命题，则∀x≥0，f(x)≥a＋1是真命题，①当x＝0时，0≥a＋1，解得a≤－1，②当x＞0时，9x＋－7≥a＋1，结合基本不等式有6|a|－7≥a＋1，得a≥或a≤－，①②取交集得，a的取值范围是a∈.
13．命题p：∃x∈R，使3cos2＋sincos<a＋；命题q：∀x∈(0，＋∞)，x2－2ax＋1≥0.若命题p∧q为真，则实数a的取值范围是________．
答案：(－，1]
解析：3cos2＋sincos＝＋sin x＝＋＋sin x＝＋＝＋sin∈，故命题p正确的条件是＋a>－，即a>－.
对于命题q，由于x>0，故不等式等价于a≤，由于x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝1时取等号)，所以不等式成立的条件是a≤1.
综上所述，命题p∧q为真，即p真q真时，a的取值范围是(－，1]．
14．已知c>0，且c≠1.设命题p：函数f(x)＝logcx为减函数；命题q：当x∈时，函数g(x)＝x＋>恒成立．假如p或q为真命题，p且q为假命题，则实数c的取值范围为________．
答案：∪(1，＋∞)
解析：由f(x)＝logcx为减函数，得0<c<1.当x∈时，由于g′(x)＝1－，故函数g(x)在上为减函数，在[1,2]上为增函数．所以g(x)＝x＋在x∈上的最小值为g(1)＝2.当x∈时，由函数g(x)＝x＋>恒成立，得2>，解得c>.假如p真q假，则0<c≤；假如p假q真，则c>1，所以实数c的取值范围为∪(1，＋∞)．
15．(2022·山东青岛质检)给出以下命题：
①双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±x；
②命题p：“∀x∈R＋，sin x＋≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为＋＝2(n≠4)．
则正确命题的序号为________．(写出全部正确命题的序号)
答案：①③④
解析：①正确，留意双曲线焦点在y轴上；②错误，不符合均值不等式的使用条件；③正确；④正确，由特殊到一般，可得等式为＋＝2(n≠4)．
综上，可得命题①③④为真命题．
16．(2022·湖南长沙调研)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－ln x－a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax－8－6a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案：(－∞，－4]∪
解析：命题p：a≤x2－ln x在x∈[1,2]上恒成立，令f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝x－＝，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，
∴f(x)min＝f(1)＝.∴a≤.
命题q：Δ＝4a2－4(－8－6a)≥0，
∴a≥－2或a≤－4.
综上，两个命题都是真命题，则有a∈(－∞，－4]∪
.