高中数学(北师大版)选修2-2教案：第3章-导数的实际应用-第二课时参考教案.docx

其次课时 导数的实际应用（二）
一、教学目标：
1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；
2、提高将实际问题转化为数学问题的力气。
二、教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程：
（一）．创设情景
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
（二）．新课探究
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过制造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过争辩相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：

解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案
建立数学模型

（三）．典例分析
例1、海报版面尺寸的设计
学校或班级进行活动，通常需要张贴海报进行宣扬。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为
。
求导数，得
。
令，解得舍去）。
于是宽为。
当时，<0；当时，>0.
因此，是函数的微小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否留意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景学问】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm
问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令 解得 （舍去）
当时，；当时，．
当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低．
（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为cm时，利润最大．
换一个角度：假如我们不用导数工具，直接从函数的图像上观看，会有什么发觉？
有图像知：当时，，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值．
当时，，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小．
（四）．课堂练习
1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，假如所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积）
2．课本P65 练习题
（五）．回顾总结建立数学模型
：1．利用导数解决优化问题的基本思路：
解决数学模型
作答
用函数表示的数学问题
优化问题
用导数解决数学问题
优化问题的答案

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过争辩相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。
（六）．布置作业：1、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，期望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.
解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b, ∴S= ①
∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b ②
由①得b=h,代入②,∴l=
l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.
∴h=时，l取最小值，此时b=
2、已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这种矩形中面积最大者的边长．
【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y），且x ＞0，y ＞0，
则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y），在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．设矩形的面积为S，则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知x ＝是S在（0，2）上的极值点，即是最大值点，
所以这种矩形中面积最大者的边长为和．
【点评】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件．应用题的分析中如确定有最小值，且微小值唯一，即可确定微小值就是最小值．
五、教后反思：