2022届-数学一轮(理科)-人教B版-课时作业-第八章-立体几何-5-.docx

第5讲　空间向量及其运算
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．在下列命题中：
①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；
②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b肯定不共面；
③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；
④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.
其中正确命题的个数是 (　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
解析　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；依据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个肯定共面，但它们三个却不肯定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.
答案　A
2．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是 (　　)
A．垂直 B．平行
C．异面 D．相交但不垂直
解析　由题意得，＝(－3，－3，3)，＝(1，1，－1)，
∴＝－3，∴与共线，又与没有公共点．
∴AB∥CD.
答案　B
3．(2021·济南月考)O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点 (　　)
A．肯定不共面 B．肯定共面
C．不肯定共面 D．无法推断
解析　由于＝＋＋，
且＋＋＝1.所以P，A，B，C四点共面．
答案　B
4．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)
A．－2 B．－ C. D．2
解析　由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，
所以14－7λ＝0，解得λ＝2.
答案　D
5．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为 (　　)
A．a2 B.a2 C.a2 D.a2
解析　如图，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.
＝(a＋b)，＝c，
∴·＝(a＋b)·c
＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.
答案　C
二、填空题
6．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
解析　∵a，b，c共面，且明显a，b不共线，
∴c＝xa＋yb，
∴
由①②解得代入③得λ＝.
答案　
7．在四周体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．
解析　＝＋＝＋×(＋)
＝＋×(－＋－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
答案　a＋b＋c
8．A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的外形是________三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)．
解析　由于·＝(－)·(－)
＝·－·－·＋2
＝2＞0，所以∠CBD为锐角．
同理∠BCD，∠BDC均为锐角．
答案　锐角

三、解答题
9．已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c.
(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．
解　(1)∵c∥，＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，
∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，
∴|c|＝＝3|m|＝3，
∴m＝±1.
∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2)．
(2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，
∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，
又∵|a|＝＝，
|b|＝＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.
10.如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证：A1，G，C三点共线；
(2)试证：A1C⊥平面BC1D.
证明　(1)＝＋＋＝＋＋，
可以证明：＝(＋＋)＝，
∴∥，即A1，G，C三点共线．
(2)设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，
∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，
因此⊥，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，
又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，
故A1C⊥平面BC1D.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)
11．若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则(　　)
A．c∥d
B．c⊥d
C．c不平行于d，c也不垂直于d
D．以上三种状况均有可能
解析　由题意得，c垂直于由a，b确定的平面．
∵d＝λa＋μb，∴d与a，b共面．∴c⊥d.
答案　B
12．已知{a，b，c}是空间的一个基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标是 (　　)
A．(4，0，3) B．(3，1，3)
C．(1，2，3) D．(2，1，3)
解析　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为x，y，z.则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc， ①
由于p在{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)
∴p＝4a＋2b＋3c， ②
由①②得∴
即p在{a＋b，a－b，c}下的坐标为(3，1，3)．
答案　B
13．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．
解析　由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.
即2a·c＋b·c＝－10，又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，
∴cos〈b，c〉＝＝＝－，
∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.
答案　60°
14.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：
(1)·；(2)·；
(3)EG的长；
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解　设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，
·＝·(－a)＝a2－a·c＝，
(2)·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.
(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.