2020-2021学年北师大版高中数学必修4双基限时练12.docx

双基限时练(十二)　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像(二)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝sin(πx＋θ)，(0<θ<2π)的最小正周期为T，且当x＝2时取最大值，那么(　　)
A. T＝2，θ＝　　　　　　　 B. T＝1，θ＝π
C. T＝2，θ＝π D. T＝1，θ＝
解析　T＝＝2，
∴f(2)＝sin(2π＋θ)＝sinθ，明显当θ＝时f(x)取得最大值．
答案　A
2．函数f(x)＝sin的单调增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析　由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)解得．
答案　A
3．若f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，则φ值可能是(　　)

A. B.
C. D. π
解析　∵sin＝cos2x，而y＝cos2x为偶函数，∴φ＝.
答案　B
4．函数y＝sin的图像(　　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析　f()＝0.
答案　A
5．①最小正周期π；②图像关于对称，则下列函数同时具有以上两共性质的是(　　)
A．y＝cos B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝tan

解析　用排解法．
答案　B
6．假如函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
解析　由题意得3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ－，取k＝0，得|φ|的最小值为.故选A.
答案　A
7．把函数y＝cos的图像向左平移φ(φ>0)个单位长度所得到的函数为偶函数，则φ的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
解析　向左平移φ个单位长度后的解析式为y＝cos，∴＋φ＝kπ，∴φ＝kπ－>0(k∈Z)．
∴k>，∴k＝2，∴φ＝.
答案　B

二、填空题
8．函数y＝2sin，x∈的值域是____________．
解析　∵－≤x≤，∴－≤x＋≤π.
∴－≤2sin≤2.
答案　[－，2]
9．函数y＝2sin的单调减区间为________．
解析　∵y＝2sin＝－2sin
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z，
∴原函数的单调减区间为(k∈Z)．
答案　(k∈Z)
10．给出下列命题：①函数y＝sinx在第一象限是增函数；②函数y＝cos(ωx＋φ)的最小正周期T＝；③函数y＝sin是偶函数；④函数y＝cos2x的图像向左平移个单位长度，得到y＝sin的图像．其中正确的命题是__________．
解析　①第一象限有正角或负角，无单调性可言，故①不正确；②中的最小正周期T＝，故②不对；③函数y＝sin(x＋π)＝－cosx，故其为偶函数；④将函数y＝cos2x的图像向左平移个单位，得到y＝cos2(x＋)＝－sin2x的图像，故④不正确，只有③正确．
答案　③
三、解答题
11．设函数f(x)＝sin(x＋φ)，y＝f(x)图像的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．
解　(1)由题意得f(0)＝f，即sinφ＝cosφ，
即tanφ＝1，又0<φ<，∴φ＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin.
由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ－π≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
∴函数f(x)的单调增区间为
(k∈Z)．
12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的值域．
解　(1)由最低点为M，得A＝2.
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M在图像上，得2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.
又φ∈，∴φ＝.
故f(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．
13．若函数f(x)＝sin(2x＋φ)，对任意x都有f＝f.
(1) 求f的值；
(2)求φ的最小正值；
(3)当φ取最小正值时，若x∈，求f(x)的最大值和最小值；
(4)写出函数f(x)的单调增区间．
解　(1) 解法一：由f＝f，知f(x)的图像关于直线x＝对称．
又∵这个图像的对称轴肯定经过图像的最高点或最低点，故f＝±.
解法二：∵f＝f，
∴f(x)关于x＝对称，∴2×＋φ＝kπ＋，
∴f＝sin＝±.
(2)由f＝±，得2·＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
解得φ＝－＋kπ(k∈Z)．
令k＝1，得φ＝，即为φ的最小正值．
(3)由(2)知f(x)＝sin(2x＋)，
当－≤x≤时，≤2x＋≤，
∴当2x＋＝，即x＝－时，f(x)取最大值；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值－.
(4)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z)，
∴函数f(x)＝sin(2x＋φ)的单调增区间为(k∈Z)．