2022届高考数学理科一轮复习课时作业-2-10函数与方程-.docx

第十节　函数与方程

题号
1
2
3
4
5
6
答案

1．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
23
9
－7
11
－5
－12
－26

那么函数在区间[1，6]上的零点至少有(　　)
A．5个　　　 B．4个　　　C．3个　　　D．2个
解析：函数f(x)在区间[2，3]，[3，4]，[4，5]上至少各有一个零点．故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)＝lg x－sin x，则f(x)在(0，＋∞)上的零点个数为(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．很多个
解析：由f(x)＝0得lg x－sin x＝0，即lg x＝sin x，然后在同一坐标系中分别作出函数y＝lg x与y＝sin x的图象(如图所示)，则由图象易知它们的图象在(0，＋∞)上有3个交点，即函数f(x)在(0，＋∞)上有3个零点，故选B.

答案：B
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1.0
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
3. 利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：

那么方程2x＝x2的一个根位于下列哪个区间(　　)
A．(0.6，1.0) B．(1.4，1.8)
C．(1.8，2.2) D．(2.6，3.0)
答案：C
4．函数f(x)＝2x＋4x－3的零点所在区间是(　　)
A. B.
C. D.
解析：f＝2－2＜0，f＝2－1＞0，由函数零点定理可知零点在上，故选A.
答案：A
5．方程＝cos x在内(　　)
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有两个根 D．有无穷多个根
解析：构造两个函数y＝|x|和y＝cos x，在同一个坐标系内画出它们的图象，如图所示，观看知图象有两个公共点，所以已知方程有且仅有两个根．故选C.

答案：C
6．设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x－2x2，则f(x)在区间[0，2 013]内零点的个数为(　　)
A．2 013个 B．2 014个
C．3 020个 D．3 024个
解析：f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，又x∈[0，1]时，f(x)＝x－2x2，要争辩函数y＝f(x)在区间[0，2 013]零点个数，可将问题转化为y＝f(x)与x轴在区间[0，2 013]有几个交点，如图，f(x)在区间[0，2 013]内零点分别是：， ，，…，.共有2 013个零点．故选A.

答案：A
7．已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x的零点分别为x1，x2，则x1，x2的大小关系是____________．
解析：由f(x)＝x＋2x＝0知其零点小于0，
∴x1＜0.由g(x)＝x＋ln x＝0知其零点大于0，
∴x2＞0.
∴x1＜x2.
答案：x1＜x2
8．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则实数k的取值范围是____________．
解析：∵Δ＝(1－k)2＋4k＝(1＋k)2≥0对一切k∈R恒成立，又k＝－1时，f(x)的零点x＝－1∉(2，3)，故要使函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2，3)内，则必有f(2)·f(3)＜0，即(6－3k)·(12－4k)＜0，解得2＜k＜3，∴实数k的取值范围是(2，3)．
答案：(2，3)
9．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是____________．
解析：在坐标系内作出函数 f(x)＝的图象，发觉当0＜m＜1时，函数f(x)的图象与直线y＝m有3个交点，即函数g(x)＝f(x)－m有3个零点．

答案：(0，1)
10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．
解析：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．
设2x＝t(t>0)，则t2＋mt＋1＝0.
①若Δ＝0，即m2－4＝0，
当m＝－2时，t＝1；当m＝2时，t＝－1不合题意，舍去．
∴2x＝1，x＝0符合题意．
②若Δ>0，即m>2或m<－2，
t2＋mt＋1＝0有一正一负两根，
即t1t2<0，这与t1t2>0冲突．
∴这种状况不行能．
综上可知，m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.
11．已知a＞0，设命题p：函数f(x)＝x2－2ax＋1－2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；命题q：g(x)＝|x－a|－ax在区间(0，＋∞)上有最小值．若(綈p)∧q是真命题，求实数a的取值范围．
解析：函数f(x)＝x2－2ax＋1－2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点，
必需即
解得－1＜a≤.
所以当－1＜a≤时，函数f(x)＝x2－2ax＋1－2a在区间[0，1]上与x轴有两个不同的交点；
由题意可得g(x)＝|x－a|－ax＝
由于a＞0，
所以－(1＋a)＜0，
所以函数y1＝－(1＋a)x＋a是单调递减的，要使g(x)在区间(0，＋∞)上有最小值，必需使y2＝(1－a)x－a在[a，＋∞)上单调递增或为常数，即1－a≥0，解得a≤1，
所以当0＜a≤1时，函数g(x)使在区间(0，＋∞)上有最小值．
若(綈p)∧q是真命题，则p是假命题且q是真命题，
所以
解得0＜a≤－1或＜a≤1.
故实数a的取值范围是(0，－1]∪.