(北师大版)数学必修1同步测试：第三章指数函数和对数函数3.3.1、2.docx

第三章　§3　3.1、3.2

一、选择题
1．下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3，其中指数函数的个数是(　　)
A．0　　 B．1
C．2　　 D．3
[答案]　B
[解析]　①中，3x的系数2不是1，因此不是指数函数；②中3的指数是x＋1，不是x，因此不是指数函数；③中满足指数函数的定义，故③正确；④中函数是幂函数，故选B.
2．函数y＝2－x的图像是下图中的(　　)

[答案]　B
[解析]　∵y＝2－x＝()x，
∴函数y＝()x是减函数，且过点(0,1)，故选B.
3．函数y＝的定义域是(　　)
A．[0，＋∞)　　　　　　 B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
[答案]　B
[解析]　由题意，得1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0，
∴函数y＝的定义域为(－∞，0]．
4．已知函数f(x)＝2x－1＋1，则f(x)的图像恒过定点(　　)
A．(1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(1,1)
[答案]　C
[解析]　代入选项易知C正确．
5．经过点(－，)的指数函数的解析式为(　　)
A．y＝()x B．y＝()x
C．y＝()x D．y＝()x
[答案]　A
[解析]　将点(－，)代入指数函数y＝ax(a>0且a≠1)中，则a－＝，即()＝()3，所以＝，即a＝.
6．(2022·山东高考)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝(　　)
A．[0,2] B．(1,3)
C．[1,3) D．(1,4)
[答案]　C
[解析]　本题考查指数函数集合的运算．
|x－1|<2，∴－2<x－1<2
即－1<x<3，y＝2x,0≤x≤2
∴20≤y≤22，即1≤y≤4
∴A∩B＝[1,3)
二、填空题
7．函数f(x)＝ax2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，则m＝________.
[答案]　9
[解析]　∵函数f(x)＝a x2＋2x－3＋m(a>1)恒过点(1,10)，
∴10＝a0＋m，∴m＝9.
8．(2021·江苏高考)不等式2 x2－x＜4的解集为________．
[答案]　(－1,2)
[解析]　由题意得：x2－x<2⇒－1<x<2，
解集为(－1,2)．
三、解答题
9．若函数y＝(4－3a)x是指数函数，求实数a的取值范围．
[解析]　y＝(4－3a)x是指数函数，需满足：
解得a<且a≠1，
故a的取值范围为{a|a<且a≠1}．
10．已知函数f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)推断函数f(x)在(－1，＋∞)上的单调性．
[解析]　(1)只需x＋1≠0时，f(x)都有意义，故f(x)的定义域是{x|x∈R且x≠－1}．
(2)设x1，x2是(－1，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝ax1＋－(a x2＋)
＝(a x1－a x2)＋.
∵－1<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
又a>1，∴a x1<a x2，即ax1－ax2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上是增加的.

一、选择题
1．已知函数f(x)＝若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于(　　)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
[答案]　A
[解析]　本题考查分段函数求值．
∵f(1)＝21＝2，∴由f(a)＋f(1)＝0知　f(a)＝－2.
当a>0时　2a＝－2不成立．
当a<0时a＋1＝－2，a＝－3.
2．函数y＝2x＋1的图像是图中的(　　)

[答案]　B
[解析]　x＝0时，y＝2；且y＝2x＋1的图像是y＝2x的图像向左平移1个单位得到的，为增函数．
二、填空题
3．若指数函数f(x)的图像经过点(2,4)，则f(3)＝________.
[答案]　8
[解析]　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，由于图像经过点(2,4)，所以f(2)＝4，即a2＝4.由于a>0且a≠1，得a＝2，即函数的解析式为f(x)＝2x，∴f(3)＝23＝8.
4．已知函数f(x)＝则满足f(x)>1的x的取值范围是________．
[答案]　{x|x>1或x<－1}
[解析]　由已知f(x)>1可化为或，解得x>1或x<－1，故{x|x>1或x<－1}．
三、解答题
5．已知f(x)＝＋a是奇函数，求a的值及函数的值域．
[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的每一个x都成立．
即＋a＝－[＋a]，
∴2a＝－－＝1，
∴a＝.
∵2x－1≠0，∴x≠0.
∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵2x>0且2x≠1，∴2x－1>－1且2x－1≠0，
∴<－1或>0，
∴y<－或y>.
∴f(x)的值域为(－∞，－)∪(，＋∞)．
6．画出函数y＝|2x－1|的图像，并利用图像回答：k为何值时，方程|2x－1|＝k无解？有一解？有两解？
[解析]　函数y＝|2x－1|的图像是由函数y＝2x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，图像如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像无交点，即方程无解；

当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；
当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|2x－1|的图像有两个不同交点，所以方程有两解．
7．设f(x)＝，若0<a<1，试求：
(1)f(a)＋f(1－a)的值；
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()的值．
[解析]　(1)f(a)＋f(1－a)
＝＋＝＋
＝＋＝＋
＝＝1.
(2)f()＋f()＋f()＋…＋f()
＝[f()＋f()]＋[f()＋f()]＋…＋[f()＋f()]＝500×1＝500.