(北师大版)数学必修1同步测试：第三章指数函数和对数函数3.1.docx

第三章　§1　

一、选择题
1．下列各项对正整数指数函数的理解正确的有(　　)
①底数a≥0；②指数x∈N＋；③底数不为0；④y＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)．
A．0个　 B．1个　
C．2个　 D．3个
[答案]　D
[解析]　由正整数指数函数定义知①错误，②③④正确故选D.
2．函数y＝()x，x∈N＋的值域是(　　)
A．R B．[0，＋∞)
C．N D．{，，，…}
[答案]　D
[解析]　∵n∈N＋，∴把n＝1,2,3，…代入可知选D.
3．下列函数：①y＝3x2(x∈N＋)；②y＝5x(x∈N＋)；
③y＝3x＋1(x∈N＋)；④y＝3·2x(x∈N＋)．
其中是正整数指数函数的个数为(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案]　B
[解析]　由正整数指数函数的定义知，①③④不是正整数指数函数，②是，故选B.
4．函数y＝()x，x∈N＋是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．增函数 D．减函数
[答案]　D
[解析]　∵0<<1，当x∈N＋且由小变大时，函数值由大变小，故选D.
5．函数y＝7x，x∈N＋的单调递增区间是(　　)
A．R B．N＋
C．[0，＋∞) D．不存在
[答案]　D
[解析]　由于函数y＝7x，x∈N＋的定义域是N＋，而N＋不是区间，则该函数不存在单调区间．
6．满足3x2－1＝的x的值的集合为(　　)
A．{1} B．{－1,1}
C．∅ D．{0}
[答案]　C
[解析]　3 x2－1＝3－2，∴x2－1＝－2，即x2＝－1，无解．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝(m－1)·4x(x∈N＋)是正整数指数函数，则实数m＝________.
[答案]　2
[解析]　由m－1＝1，得m＝2.
8．由于电子技术的飞速进展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为________．
[答案]　2400元
[解析]　5年后价格为8100×；10年后价格为8100×2；15年后价格为8100×3＝2400(元)．
三、解答题
9．对于五年可成材的树木，在此期间的年生长率为18%，以后的年生长率为10%，树木成材后，即可以售树木，重栽新树木；也可以让其连续生长．问哪一种方案可获得较大的木材量？(只需考虑十年的情形)
[解析]　设新树苗的木材量为Q，则十年后有两种结果：
①连续生长十年，木材量N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5；
②生长五年后重栽，木材量M＝2Q(1＋18%)5，
则＝，
由于(1＋10%)5≈1.61<2，所以>1，即M>N.
因此，生长五年后重栽可获得较大的木材量．
10．农夫收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2009年某地区农夫人均收入为13150元(其中工资性收入为7800元，其他收入为5350元)．估量该地区自2010年起的5年内，农夫的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．依据以上数据，求2022年该地区农夫人均收入约为多少元？(其中1.064≈1.26,1.065≈1.34,1.066≈1.42)
[分析]　本小题主要考查指数函数型的实际问题，也考查同学运用函数学问解决实际问题的力气．
[解析]　农夫人均收入来源于两部分，一是工资性收入即7800×(1＋6%)5＝7800×1.065＝10452(元)，二是其它收入即5350＋5×160＝6150(元)，
∴农夫人均收入为10452＋6150＝16602(元)．
答：2022年该地区农夫人均收入约为16602元.

一、选择题
1．若f(x)＝3x(x∈N且x>0)，则函数y＝f(－x)在其定义域上为(　　)
A．增函数 B．减函数
C．先增后减 D．先减后增
[答案]　B
[解析]　∵f(x)＝3x(x∈N且x<0)，
∴y＝f(－x)＝3－x＝()x，
∴函数为减函数，故选B.
2．某地区重视环境疼惜，绿色植被面积呈上升趋势，经调查，从2002年到2011年这10年间每两年上升2%,2010年和2011年种植植被815万m2.当地政府打算今后四年内仍按这个比例进展下去，那么从2022年到2021年种植绿色植被面积为(四舍五入)(　　)
A．848万m2 B．1679万m2
C．1173万m2 D．12494万m2
[答案]　B
[解析]　2022～2021年为815×(1＋2%)，
2022～2021年为815×(1＋2%)×(1＋2%)．
共为815×(1＋2%)＋815×(1＋2%)(1＋2%)≈1679.
二、填空题
3．不等式()3－x2<32x(x∈N＋)的解集是________．
[答案]　{1,2}
[解析]　由()3－x2<32x得3 x2－3<32x.
∵函数y＝3x，x∈N＋为增函数，
∴x2－3<2x，即x2－2x－3<0，
∴(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.
又∵x∈N＋，∴x＝1或x＝2.
4．当x∈N＋时，用“>”“<”或“＝”填空：
()x________1,2x________1，()x________2x，()x________()x,2x________3x.
[答案]　<　>　<　>　<
[解析]　∵x∈N＋，∴()x<1,2x>1.
∴2x>()x.又依据对其图像的争辩，知2x<3x，()x>()x.也可以代入特殊值比较大小．
三、解答题
5．已知正整数指数函数f(x)的图像经过点(3,27)，
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(5)；
(3)函数f(x)有最值吗？若有，试求出；若无，说明缘由．
[解析]　(1)设正整数指数函数为f(x)＝ax(a>0，a≠1，x∈N＋)，由于函数f(x)的图像经过点(3,27)，
所以f(3)＝27，即a3＝27，解得a＝3，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝3x(x∈N＋)．
(2)f(5)＝35＝243.
(3)由于f(x)的定义域为N＋，且在定义域上单调递增，所以f(x)有最小值，最小值是f(1)＝3，f(x)无最大值．
6．某城市现有人口总数为100万人，假如年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大经多少年以后该城市人口总数将达到120万人(精确到1年)((1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.21)?
[分析]　本题是增长率问题，可以分别写第1年、第2年，依次类推得x年的解析式．
[解析]　(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2；
3年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)3.
x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x.
(2)10年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)．
(3)令y＝120，则有100×(1＋1.2%)x＝120，解方程可得x≈16.
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人．
7．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口年平均递增率把握在1‰，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)推断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增、减有什么实际意义．
[解析]　(1)1999年年底的人口数：13亿；
经过1年，2000年年底的人口数：13＋13×1‰＝13(1＋1‰)(亿)；
经过2年，2001年年底的人口数：13(1＋1‰)＋13(1＋1‰)×1‰＝13(1＋1‰)2(亿)；
经过3年，2002年年底的人口数：13(1＋1‰)2＋13(1＋1‰)2×1‰＝13(1＋1‰)3(亿)．
∴经过年数与(1＋1‰)的指数相同．
∴经过x年后的人口数：13(1＋1‰)x(亿)，
∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x(x∈N)．
(2)理论上指数函数定义域为R，
∵此问题以年作为单位时间，
∴x∈N是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1‰)x，
∵1＋1‰>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13(1＋1‰)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．