2021年高考数学(四川专用-理)一轮复习考点突破：第8篇-第1讲-直线与方程.docx

第1讲　直线与方程
[最新考纲]
1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，把握过两点的直线斜率的计算公式．
3．把握确定直线位置的几何要素，把握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.

知 识 梳 理
知 识 梳 理
1．直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)．
(2)直线的斜率
①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan_α；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
2．直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
全部直线
3.线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
辨 析 感 悟
1．对直线的倾斜角与斜率的理解
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)
(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)
(3)(教材习题改编)若三点A(2,3)，B(a,1)，C(0,2)共线，则a的值为－2.(√)
2．对直线的方程的生疏
(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．(×)
(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)
(6)直线l过点P(1,2)且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为x＋y－3＝0.(×)
[感悟·提升]
1．直线的倾斜角与斜率的关系　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有斜倾角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率，如(1)．
2．三个防范　一是依据斜率求倾斜角，要留意倾斜角的范围，如(2)；
二是求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以争辩，如(4)；
三是在用截距式时，应先推断截距是否为0，若不确定，则需分类争辩，如(6).

考点一　直线的倾斜角和斜率
【例1】 (1)直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是(　　)．
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
(2)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为 (　　)．
A. B．－ C．－ D.
解析　(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ<π.故选B.
(2)依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.
答案　(1)B　(2)B
规律方法 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此依据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种状况争辩．由正切函数图象可以看出当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．
【训练1】 经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α的范围．
解　法一　如图所示，
kPA＝＝－1，
kPB＝＝1，
由图可观看出：直线l倾斜角α的范围是∪.
法二　由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.
∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上．
∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.
∴－1≤k≤1.
∴直线l的倾斜角α的范围是∪.
考点二　求直线的方程
【例2】 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－.
(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点，且 |AB|＝5.
解　(1)法一　设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为＋＝1，
∵l过点(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
法二　由题意，所求直线的斜率k存在且k≠0，
设直线方程为y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，
解得k＝－1或k＝，
∴直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)设所求直线的斜率为k，依题意
k＝－×3＝－.
又直线经过点A(－1，－3)，
因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.
解方程组
求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，
即x＝1为所求．
设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，
解方程组
得两直线交点为
(k≠－2，否则与已知直线平行)
则B点坐标为.
由已知2＋2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.
综上可知，所求直线的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.
规律方法 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并留意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必需存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若接受截距式，应留意分类争辩，推断截距是否为零；若接受点斜式，应先考虑斜率不存在的状况．
【训练2】 △ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC所在直线的方程；
(2)BC边上中线AD所在直线的方程；
(3)BC边的垂直平分线DE的方程．
解　(1)由于直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.
(2)设BC中点D的坐标为(x，y)，
则x＝＝0，y＝＝2.
BC边的中线AD过A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
考点三　直线方程的综合应用

【例3】 已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如右图所示，
求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．
审题路线　依据截距式设所求直线l的方程⇒把点P代入，找出截距的关系式⇒运用基本不等式求S△ABO⇒运用取等号的条件求出截距⇒得出直线l的方程．
解　设A(a,0)，B(0，b)，(a＞0，b＞0)，则直线l的方程为＋＝1，
∵l过点P(3,2)，∴＋＝1.
∴1＝＋≥2 ，即ab≥24.
∴S△ABO＝ab≥12.当且仅当＝，即a＝6，b＝4.
△ABO的面积最小，最小值为12.
此时直线l的方程为：＋＝1.
即2x＋3y－12＝0.
规律方法 (1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的某函数，借助函数的性质解决；
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关学问(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．
【训练3】 在例3的条件下，求直线l在两轴上的截距之和最小时直线l的方程．
解　设l的斜率为k(k＜0)，则l的方程为y＝k(x－3)＋2，令x＝0，得B(0,2－3k)，令y＝0，得A，
∴l在两轴上的截距之和为
2－3k＋3－＝5＋≥5＋2，
当且仅当k＝－时，等号成立．
∴k＝－时，l在两轴上截距之和最小，
此时l的方程为x＋3y－3－6＝0.

1．求斜率可用k＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不行分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需争辩”．
2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

思想方法9——分类争辩思想在求直线方程中的应用

【典例】 在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．
解　(1)当k＝0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程为y＝.
(2)当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)．所以A与G关于折痕所在的直线对称，
有kAG·k＝－1，k＝－1⇒a＝－k.
故G点坐标为G(－k,1)，从而折痕所在的直线与AG的交点坐标(线段AG的中点)为M.
折痕所在的直线方程为y－＝k，
即y＝kx＋＋.
∴k＝0时，y＝；k≠0时，y＝kx＋＋.
[反思感悟] (1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类争辩．
(2)本题需对斜率k为0和不为0进行分类争辩，易错点是忽视斜率不存在的状况．

【自主体验】
1．若直线过点P且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为 (　　)．
A．3x＋4y＋15＝0
B．x＝－3或y＝－
C．x＝－3
D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0
解析　若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，由于该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线的距离为＝，解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
答案　D
2．已知两点A(－1,2)，B(m,3)，则直线AB的方程为________．
解析　当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，
当m≠－1时，直线AB的方程为
y－2＝(x＋1)，即y＝x＋＋2.
答案　x＝－1或y＝x＋＋2

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为(　　)．
A．30° B．60° C．150° D．120°
解析　直线的斜率为k＝tan α＝，又由于α∈[0，π)，所以α＝60°.
答案　B
2．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－.则直线l的方程为(　　)．
A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0
解析　由点斜式，得y－5＝－(x＋2)，
即3x＋4y－14＝0.
答案　A
3．若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是(　　)．
A．1 B．2 C．－ D．2或－
解析　由题意可知2m2＋m－3≠0，即m≠1且m≠－，在x轴上截距为＝1，即2m2－3m－2＝0，解得m＝2或－.
答案　D
4．(2022·佛山调研)直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、其次、第四象限，则a，b，c应满足(　　)．
A．ab>0，bc<0 B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析　由题意，令x＝0，y＝－>0；令y＝0，x＝－>0.即bc<0，ac<0，从而ab＞0.
答案　A
5．(2022·郑州模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　　)．
A. B.∪
C．(－∞，1)∪ D．(－∞，－1)∪

解析　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪.
答案　D
二、填空题
6．(2022·长春模拟)若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
解析　∵kAC＝＝1，kAB＝＝a－3.
由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4.
答案　4
7．(2022·温州模拟)直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.
解析　令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝－.
则有－＝2，所以k＝－24.
答案　－24
8．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．
解析　设所求直线的方程为＋＝1，
∵A(－2,2)在直线上，
∴－＋＝1.①
又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴|a|·|b|＝1.②
由①②可得(1)或(2)
由(1)解得或方程组(2)无解．
故所求的直线方程为＋＝1或＋＝1，
即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．
答案　x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0
三、解答题
9．(2022·临沂月考)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过其次象限，求实数a的取值范围．
解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为0，当然相等．∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
得＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴或∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是(－∞，－1]．
10．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解　存在．理由如下：
设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，则A，B(0,1－2k)，△AOB的面积S＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4.当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
力量提升题组
(建议用时：25分钟)

一、选择题
1．(2022·北京海淀一模)已知点A(－1,0)，B(cos α，sin α)，且|AB|＝，则直线AB的方程为(　　)．
A．y＝x＋或y＝－x－
B．y＝x＋或y＝－x－
C．y＝x＋1或y＝－x－1
D．y＝x＋或y＝－x－
解析　|AB|＝＝＝，所以cos α＝，sin α＝±，所以kAB＝±，即直线AB的方程为y＝±(x＋1)，所以直线AB的方程为y＝x＋或y＝－x－.
答案　B
2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)．
A. B.
C. D.
解析　如图，直线l：y＝kx－，过定点P(0，－)，又A(3,0)，∴kPA＝，则直线PA的倾斜角为，
满足条件的直线l的倾斜角的范围是.
答案　B
二、填空题
3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
解析　直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，由于0≤b≤1，
故当b＝时，ab取得最大值.
答案　
三、解答题
4.如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别
交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．
解　由题意可得kOA＝tan 45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x，设A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中点C，
由点C在y＝x上，且A，P，B三点共线得
解得m＝，所以A(，)．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，
所以lAB：y＝(x－1)，
即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.