《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版-课时作业33-Word版含解析.docx

课时作业33　不等关系与不等式
一、选择题(每小题5分，共40分)
1．(2022·大连质检)x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是(　　)
A．x>y　　　　　　　　　 B．x＝y
C．x<y D．不能确定
解析：∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8
＝－7<0，∴x<y.
答案：C
2．已知a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2－b2≥0 B．ac>bc
C．|a|>|b| D．2a>2b
解析：A中，若a＝－1，b＝－2，则a2－b2≥0不成立；当c＝0时，B不成立；当0>a>b时，C不成立；由a>b知2a>2b成立，故选D.
答案：D
3．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出<成立的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：运用倒数性质，由a>b，ab>0可得<，②、④正确．又正数大于负数，①正确，③错误，故选C.
答案：C
4．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－3,6)
C．(－3,3) D．(1,4)
解析：由－4<b<2⇒0≤|b|<4，－4<－|b|≤0，
又1<a<3.∴－3<a－|b|<3.故选C.
答案：C
5．(2022·合肥一模)使不等式a>b成立的一个充要条件是(　　)
A．a2>b2　　　 　 　　 B.<
C．lga>lgb D.<
解析：a＝－2，b＝1，满足a2>b2和<，但a<b；lga>lgb⇒a>b但0>a>b⇒/ lga>lgb.
答案：D
6．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，比较A、B、C的大小结果为(　　)
A．A<B<C B．B<A<C
C．A<C<B D．B<C<A
解析：不妨设a＝－，则A＝，B＝，C＝2，由此猜想B<A<C.
由－1<a<0得1＋a>0，
A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，
C－A＝－(1＋a2)＝－
＝－>0，得C>A，∴B<A<C.
答案：B
7．(2022·安徽百校联盟一模)已知a，b∈R，下列四个条件中，使>1成立的必要不充分条件是(　　)
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a|>|b| D．lna>lnb
解析：由>1⇒－1>0⇒>0⇒(a－b)b>0⇒a>b>0或a<b<0⇒|a|>|b|，但由|a|>|b|不能得到a>b>0或a<b<0，即得不到>1，故|a|>|b|是使>1成立的必要不充分条件．
答案：C
8．若x∈(，1)，a＝log2x，b＝2log2x，c＝logx，则(　　)
A．a<b<c B．a<a<b
C．b<a<c D．b<c<a
解析：∵x∈(，1)，∴－1<log2x<0.
∴c－a＝log2x(log2x＋1)(log2x－1)>0，即c>a.
a－b＝－log2x>0，∴a>b，∴c>a>b，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
9．现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2(a－b－)；③＋>＋.其中恒成立的不等式共有________个．
解析：由于a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，由于(＋)2－(＋)2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋，即③恒成立．
答案：2
10．(2022·福建泉州3月，15)若x>y，a>b，则在①a－x>b－y，②a＋x>b＋y，③ax>by，④x－b>y－a，⑤>这五个式子中，恒成立的全部不等式的序号是________．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x>y，a>b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，
∴ax＝by，因此③也不成立．
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
11．设a>0，且a≠1，P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，则P与Q的大小关系是________．
解析：∵P＝loga(a3－1)，Q＝loga(a2－1)，
a>0，∴a3－1>0，a2－1>0，∴a>1.
又∵(a3－1)－(a2－1)＝a2(a－1)>0，
∴a3－1>a2－1，
∴loga(a3－1)>loga(a2－1)，即P>Q.
答案：P>Q
三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分．解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
12．设0<x<1，a>0且a≠1，比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小．
解：法一：当a>1时，由0<x<1知，
loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)＝－loga(1－x2)，
∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)<0，从而－loga(1－x2)>0，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
当0<a<1时，同样可得|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
法二：平方作差
|loga(1－x)|2－|loga(1＋x)|2
＝[loga(1－x)]2－[loga(1＋x)]2＝loga(1－x2)·loga
＝loga(1－x2)·loga(1－)>0.
∴|loga(1－x)|2>|loga(1＋x)|2，
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
法三：作商比较
∵＝||
＝|log(1＋x)(1－x)|，
∵0<x<1，∴log(1＋x)(1－x)<0，
故＝－log(1＋x)(1－x)
＝log(1＋x)
＝1＋log1＋x(·)＝1＋log(1＋x)，
由0<x<1知，1＋x>1及>1，
∴log(1＋x)>0，故>1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
13．已知x，y为正实数，满足1≤lgxy≤2,3≤lg≤4，求lg(x4y2)的取值范围．
解：设a＝lgx，b＝lgy，
则lg(xy)＝a＋b，
lg＝a－b，lg(x4y2)＝4a＋2b，
设4a＋2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
∴解得
∴lg(x4y2)＝3lg(xy)＋lg，
∵3≤3lg(xy)≤6,3≤lg≤4，
∴6≤lg(x4y2)≤10.
14．(2022·汉中调研)已知a，b，x，y∈(0，＋∞)且>，x>y，求证：>.
证明：－＝.
∵>且a，b∈(0，＋∞)，
∴b>a>0，
又∵x>y>0，∴bx>ay>0，
∴>0，∴>.