2021高中数学北师大版必修二导学案：《直线和圆的位置关系》.docx

第10课时直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来推断直线与圆的位置关系.一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的范围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,假如这艘船不转变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课争辩的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种:、相切、相离 .推断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式,当判别式0时,直线和圆相交.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:dr相离.问题2:过肯定点是否都存在圆的切线?假如存在,如何求圆的切线方程? (1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.(2)若点在圆上,则过该点的切线只有一条,切线方程求法如下:直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最终用点斜式求出切线方程.设元法,先设出切线方程(留意斜率不存在时的争辩),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,特殊地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:x0x+y0y=r2.(3)若点在圆外,则过该点的切线有两条,切线方程求法如下:首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|=1+k2|xA-xB|=(1+k2)(xA+xB)2-4xAxB.问题4:用直线与圆的学问解决实际问题的步骤(1)认真审题,理解题意;(2)引入数学符号,建立数学模型;(3)用直线与圆的学问解决已建立的数学模型;(4)用结果解释实际问题.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ).A.相交B.相切C.相离D.相切或相交2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为().A. 5B.3C.10D.53.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值范围是.4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,求切线方程. 圆的切线方程已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.求圆的弦长求直线x-3y+23=0被圆x2+y2=4截得的弦长.利用圆的方程求最值已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.求过点P(4,5)的圆(x-2)2+y2=4的切线方程.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=22时,求直线l的方程.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则y-1x-2的最大值为;最小值为.1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是().A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为().A.x+3y-2=0B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0D.x-3y+2=03.直线3x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于.4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.(2022年北京卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.考题变式(我来改编):第10课时直线和圆的位置关系学问体系梳理问题1:相交相切相离(1)相离相切相交(2)相交相切相离问题2:(2)一条x0x+y0y=r2(3)两条问题3:(2)1+k2|xA-xB|=(1+k2)(xA+xB)2-4xAxB问题4:(2)数学符号数学模型(4)实际问题基础学习沟通1.Ad=|30+40-5|32+42=14,直线与圆的位置关系是相交.2.B由于过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为(-1-2)2+(4-3)2-1=3,或2-(-1)=3.3.(0,43)依题意有|2k-1|k2+11,解得0k4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得|2k-0+5-4k|k2+1=2,解得k=2120.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.应用二:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.(法一)过圆心C作CDAB交AB于点D,则依据题意和圆的性质,得CD=|4+2a|a2+1,CD2+DA2=AC2=22,DA=12AB=2,即:(4+2a)2a2+1+2=4.解得a=-7或a=-1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)联立方程组ax+y+2a=0,x2+y2-8y+12=0,消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.=-16(4a+3)0,即a-34,设此方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-4(a2+2a)a2+1,x1x2=4(a2+4a+3)a2+1.由AB=22=(a2+1)(x1+x2)2-4x1x2,可求出a=-7或a=-1,所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.应用三:33-33由于 y-1x-2表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设y-1x-2=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时|-1+1-2k|k2+1=1,解得k=33.所以y-1x-2的最大值为33 ,最小值为-33 .基础智能检测1.B由于圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=121,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.2.D由于点P在圆C上,kPC=-3,所以切线的斜率为33,所以切线方程为y-3=33(x-1),即x-3y+2=0.3.-33或3由题设知圆心坐标为(1,0),由于直线与圆相切,所以d=|3+m|2=r=3,解得m=3或-33.4.解:kAB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d=|0+0-1|2=22,从而弦长|AB|=2 8-12=30.全新视角拓展22本题考查直线和圆的位置关系以及简洁的平面几何学问.(法一)几何法:圆心到直线的距离为d=|0-2|2=2,圆的半径r=2,所以弦长为l=2r2-d2=24-2=22;(法二)代数法:联立直线和圆的方程y=x,x2+(y-2)2=4 消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为(2-0)2+(2-0)2=22.