2022届高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库：第6章-第3讲-等比数列及其前n项和-.docx

第3讲 等比数列及其前n项和
一、选择题
1．若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N＋)，则以下命题正确的是(　　)
①{a2n}是等比数列；②是等比数列；③{lg an}是等差数列；④{lg a}是等差数列．
A．①③ B．③④
C．①②③④ D．②③④
解析 ∵an＝qn(q>0，n∈N＋)，∴{an}是等比数列，因此{a2n}，是等比数列，{lg an}， {lg a}是等差数列．
答案 C
2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　)
A．5 B．7
C．6 D．4
解析 ∵{an}为等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)(a7a8a9)＝50，∵an>0，∴a4a5a6＝5.
答案 A
3．已知等比数列{an}为递增数列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的公比q＝(　　)．
A．2 B. C．2或 D．3
解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，
化简得，2q2－5q＋2＝0，由题意知，q>1.∴q＝2.
答案　A
4．在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝ (　　)．
A．8 B．15(＋1)
C．15(－1) D．15(1－)
解析　∵a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)．
答案　B
5．若数列{an}满足＝p(p为正常数，n∈N＋)，则称{an}为“等方比数列”．甲：数列{an} 是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列，则(　　)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的充要条件
C．甲是乙的必要条件但不是充分条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解析：乙⇒甲，但甲⇒/ 乙，如数列2,2，－2，－2，－2，是等方比数列，但不是等比数列．
答案：C
6．一个等比数列前三项的积为2，最终三项的积为4，且全部项的积为64，则该数列有(　　)
A．13项 B．12项
C．11项 D．10项
解析 设前三项为a1，a1q，a1q2，最终三项分别为a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.所以前三项之积aq3＝2，最终三项之积aq3n－6＝4.所以两式相乘，得
aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.
答案 B
二、填空题
7．在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，则n的值为________．
解析　由于an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7.
答案　7
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝________.
解析 由S3＋3S2＝0得4a1＋4a2＋a3＝0，有4＋4q＋q2＝0，解得q＝－2.
答案 －2
9．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N＋都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.
解析 由{an}为等比数列可知an≠0，又∵an＋2＋an＋1－2an＝0，∴q2＋q－2 ＝0，∴q＝ 1(舍)或q＝－2.∴S5＝＝11.
答案 11
10．等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，给出下列四个命题：①数列为等比数列；②若a2＋a12＝2，则S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，则Sn确定有最大值．
其中真命题的序号是________(写出全部真命题的序号)．
解析　对于①，留意到＝an＋1－an＝d是一个非零常数，因此数列是等比数列，①正确．对于②，S13＝＝＝13，因此②正确．对于③，留意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正确．对于④，Sn＝na1＋d，d>0时，Sn不存在最大值，因此④不正确．综上所述，其中正确命题的序号是①②③.
答案　①②③
三、解答题
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
(1)证明　∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝.
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.
∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，
∴an＝cn＋1＝1－n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－
＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
12．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.
(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{an}唯一，求a的值．
解　(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2)．
即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－.
所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1.
(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，
由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．
由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，
代入(*)得a＝.
13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，n∈N*.
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
解　(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)．
∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1，
∴当t＝1时，a2＝4a1，数列{an}是等比数列．
(2)在(1)的结论下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n，
∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)
＝＋.
14．已知定义域为R的二次函数f(x)的最小值为0且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x) ＝4(x－1)被函数f(x)的图像截得的弦长为4，数列{an}满足a1＝2，
(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0(n∈N＋)．
(1)求函数f(x)；
(2)求数列{an}的通项公式；[来源:
(3)设bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应的n.
解 (1)依题意，设f(x)＝a(x－1)2(a>0)，则直线g(x)＝4(x－1)与函数y＝f(x)图像的两个 交点为(1,0)，，[来源
∵ ＝4，∴a＝1，f(x)＝(x－1)2.
(2)f(an)＝(an－1)2，g(an)＝4(an－1)，
∵(an＋1－an)·4(an－1)＋(an－1)2＝0，
∴(an－1)(4an＋1－3an－1)＝0，
∵a1＝2，∴an－1≠0，∴4an＋1－3an－1＝0，
∴an＋1－1＝(an－1)，又a1－1＝1，
∴数列{an－1}是首项为1，公比为的等比数列，
∴an－1＝n－1，an＝n－1＋1.
(3)bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)＝32－4n，
设bn＝y，u＝n－1，
则y＝3＝32－.
∵n∈N＋，u的值分别为1，，，，…，经比较距最近，
∴当n＝3时，bn有最小值－，当n＝1时，bn有最大值0.