2022届数学一轮(理科)人教B版课时作业-第三章-导数及其应用-3-3.docx
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1、第3讲 导数的综合应用基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2022湖南卷)若0x1x21,则()解析令f(x),则f(x).当0x1时,f(x)0,即f(x)在(0,1)上单调递减,0x1x21,f(x2)f(x1), ,故选C.答案C2(2021泸州一模)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27,且用料最省,则圆柱的底面半径为()A3 B4 C6 D5解析设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则VR2l27,l,要使用料最省,只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小,由题意,SR22RlR22,S2R,令S0,得R3,则当R3时,S最小故选A.答案A3(2021沈阳统考)若函数f(
2、x)2x39x212xa恰好有两个不同的零点,则a可能的值为()A4 B6 C7 D8解析由题意得f(x)6x218x126(x1)(x2),由f(x)0得x1或x2,由f(x)0得1x2,所以函数f(x)在(,1),(2,)上单调递增,在(1,2)上单调递减,从而可知f(x)的极大值和微小值分别为f(1),f(2),若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点,则需使f(1)0或f(2)0,解得a5或a4,而选项中只给出了4,所以选A.答案A4设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论确定正确的是()AxR,f(x)f(x0)Bx0是f(x)的微小值点Cx0是f(x)
3、的微小值点Dx0是f(x)的微小值点解析A错,由于极大值未必是最大值;B错,由于函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称,x0应是f(x)的极大值点;C错,函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称,x0应为f(x)的微小值点;D正确,函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称,x0应为yf(x)的微小值点答案D5(2022新课标全国卷)已知函数f(x)ax33x21,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()A(2,) B(1,)C(,2) D(,1)解析a0时,不符合题意a0时,f(x)3ax26x,令f(x)0,得x0或x.若a0,则由图象知f(x)有负
4、数零点,不符合题意则a0,由图象结合f(0)10知,此时必有f 0,即a310,化简得a24,又a0,所以a2,故选C.答案C二、填空题6(2022唐山模拟)已知a0,函数f(x)x3ax2bxc在区间2,2上单调递减,则4ab的最大值为_解析f(x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb,函数f(x)在区间2,2上单调递减,即即4ab12,4ab的最大值为12.答案127(2021开封一模)已知函数f(x)ax33x1对x(0,1总有f(x)0成立,则实数a的取值范围是_解析当x(0,1时不等式ax33x10可化为a,设g(x),x(0,1,g(x).g(x)与g(x)随x的变化状况如下表
5、:x g(x)0g(x)极大值4因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是4,)答案4,)8已知函数f(x)x3ax24在x2处取得极值,若m,n1,1,则f(m)f(n)的最小值是_解析对函数f(x)求导得f(x)3x22ax,由函数f(x)在x2处取得极值知f(2)0,即342a20,a3.由此可得f(x)x33x24,f(x)3x26x,易知f(x)在(1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,当m1,1时,f(m)minf(0)4.又f(x)3x26x的图象开口向下,且对称轴为x1,当n1,1时,f(n)minf(1)9.故f(m)f(n)的最小值为13.答案13三、解答题9(2
6、022青岛一模)设a为实数,函数f(x)ex2x2a,xR.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当aln 21且x0时,exx22ax1.(1)解由f(x)ex2x2a,xR,知f(x)ex2,xR.令f(x)0,得xln 2.于是当x变化时,f(x),f(x)的变化状况如下表:x(,ln 2)ln 2(ln 2,)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(,ln 2),单调递增区间是(ln 2,),f(x)在xln 2处取得微小值,微小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1,xR,于是g(x)ex2x2
7、a,xR.由(1)知当aln 21时,g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时,对任意x(0,),都有g(x)g(0)而g(0)0,从而对任意x(0,),都有g(x)0.即exx22ax10,故exx22ax1.10(2021太原模拟)已知函数f(x)(2a)x2(1ln x)a,g(x),(1)若函数f(x)在区间上无零点,求实数a的最小值;(2)若对任意给定的x0(0,e,在(0,e上方程f(x)g(x0)总存在两个不等的实根,求实数a的取值范围解f(x)(2a)(x1)2ln x,(1)令m(x)
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