《高考导航》2022届新课标数学(理)一轮复习讲义-第二章-第11讲-变化率与导数、导数的计算.docx
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1、第11讲变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数,记作f(x0)或y|xx0,即f(x0) .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地,切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1(nQ*)f(x)sin x
2、f(x)cos xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)3.导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积做一做1函数yxcos xsin x的导数为()Axsin xBxsin xCxcos x Dxcos x解析:选B.yxcos xx(cos x)(si
3、n x)cos xxsin xcos xxsin x.2(2022高考江西卷)若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10,则点P的坐标是_解析:设P(x0,y0),yex,yex,点P处的切线斜率为kex02,x0ln 2,x0ln 2,y0eln 22,点P的坐标为(ln 2,2)答案:(ln 2,2) 1辨明三个易误点(1)利用公式求导时要特殊留意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆(2)求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区分,前者只有一条,而后者包括了前者(3)曲线的切线与曲线的交点个数不愿定只有一个,这和争辩直线与二次曲线相切时有差别2导数运算的技巧(1)要精确
4、地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式,再利用运算法则求导数;(2)对于不具备求导法则结构形式的,要适当恒等变形,转化为较易求导的结构形式,再求导数但必需留意变形的等价性,避开不必要的运算失误对数函数的真数是根式或者分式时,可用对数的运算性质将真数转化为有理式或整式,然后再求解比较便利;当函数表达式含有三角函数时,可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导做一做3(2021保定市高三调研)已知曲线yln x的切线过原点,则此切线的斜率为()Ae BeC. D解析:选C.yln x的定义域为(0,),设切点为(x0,y0),则kf(x0),切线方程为yy0(xx0),又切线过点(0
5、,0),代入切线方程得x0e,y01,kf(x0).4函数y的导数为_解析:y,y.答案:,同学用书P41P42)_导数的运算_求下列函数的导数:(1)y(3x24x)(2x1);(2)yx2sin x;(3)y3xex2xe;(4)y;(5)yln(2x5)解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x,y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.(5)令u2x5,yln
6、u,则y(ln u)u2,即y.规律方法导数计算的原则和方法:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以削减运算量,提高运算速度,削减差错(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导1.求下列函数的导数:(1)yxnex;(2)y;(3)yexln x;(4)y(1sin x)2.解:(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xexex.(4)y2(1sin x)(1sin x)2(1sin x)cos x._导数的几何意义(高频考点)_导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有
7、选择题也有填空题,也常毁灭在解答题的第(1)问中,难度偏小,属中低档题高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度:(1)已知切点求切线方程;(2)已知切线方程(或斜率)求切点;(3)已知切线方程求参数值(1)(2021山东青岛模拟)曲线yx32x在(1,1)处的切线方程为()Axy20Bxy20Cxy20 Dxy20(2)(2022高考课标全国卷改编)设曲线yaxln x在点(1,0)处的切线方程为y2x,则a() A0 B1C2 D3 (3)设aR,函数f(x)exaex的导函数是f(x),且f(x)是奇函数若曲线yf(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为()Aln 2 Bln 2C
8、. D解析(1)由已知,点(1,1)在曲线yx32x上,所以切线的斜率为y|x1(3x22)|x11,由直线方程的点斜式得xy20,故选A.(2)令f(x)axln x,则f(x)a.由导数的几何意义可得在点(1,0)处的切线的斜率为f(1)a1.又切线方程为y2x,则有a12,a3.(3)函数f(x)exaex的导函数是f(x)exaex.又f(x)是奇函数,所以f(x)f(x),即exaex(exaex),则ex(1a)ex(a1),所以(e2x1)(1a)0,解得a1.所以f(x)exex.令exex,解得ex2或ex(舍去,由于ex0),所以xln 2.答案(1)A(2)D(3)A规律
9、方法(1)求曲线切线方程的步骤:求出函数yf(x)在点xx0处的导数,即曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处切线的斜率;由点斜式方程求得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)求曲线的切线方程需留意两点:当曲线yf(x)在点P(x0,f(x0)处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时,切线方程为xx0;当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解2.(1)(2021广东肇庆模拟)若曲线yx2x的某一切线与直线y4x3平行,则切线方程为_(2)(2021云南省调研)函数f(x)的图象在点(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析:(1)设切点为(x0,y0),切线的斜率k
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