2021届高考数学总复习课时训练：第2章-函数与导数第1课时-函数及其表示-.docx

其次章　函数与导数第1课时　函数及其表示

1. 下列对应f是从集合A到集合B的函数有________个．
① A＝N，B＝N*，f：x→y＝|x－2|；
② A＝{1，2，3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
③ A＝[－1，1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
答案：2
2. 已知函数y＝f(x)，集合A＝{(x，y)|y＝f(x)}，B＝{(x，y)|x＝a，y∈R}，其中a为常数，则集合A∩B的元素有________个．
答案：0或1
解析：设函数y＝f(x)的定义域为D，则当a∈D时，A∩B中恰有1个元素；当aD时，A∩B中没有元素．
3. 若f(＋1)＝x＋1，则f(x)＝___________．
答案：x2－2x＋2(x≥1)
解析：令t＝＋1，则x＝(t－1)2，所以f(t)＝(t－1)2＋1.
4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且φ＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________．
答案：3x＋(x≠0)
解析：由题可设φ(x)＝ax＋，代入φ＝16，φ(1)＝8，得a＝3，b＝5.
5. 已知函数f(x)＝3x－1，g(x)＝若x≥，则g(f(x))＝________．
答案：9x2－6x
解析：当x≥时，f≥0，所以g(f(x))＝(3x－1)2－1＝9x2－6x.
6. 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为p＝(c为常数，且0<c<6)．已知每生产1件合格产品盈利3元，每毁灭1件次品亏损1.5元．若将日盈利y(万元)表示为日产量x(万件)的函数关系，其关系式为________________．
答案：y＝
解析：当x>c时，p＝，所以y＝·x·3－·x·＝0；当0<x≤c时，p＝，所以y＝·x·3－·x·＝.

7. 已知f＝，则f(x)的解析式为____________．
答案：f(x)＝
8. 已知函数f(x)＝若f(x)≤3，则x的取值范围是________．
答案：[－1，9]∪(－∞，－3]
解析：f(x)≤3等价于或解得0≤x≤9或－1≤x＜0或x≤－3，即－1≤x≤9或x≤－3.
9. (1) 已知f(x)是二次函数，且方程f(x)＋3x＝0有两根0和1.若f(x＋4)＝f(－x)，求f(x)；
(2) 设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a、b，有f(a－b)＝f(a)－b(2a－b＋1)，求f(x)．
解： (1) 设f(x)＋3x＝ax(x－1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－(a＋3)x，由f(x＋4)＝f(－x)，得f(x)的图象关于x＝2对称，所以＝2，解得a＝1，所以f(x)＝x2－4x.
(2) 令a＝b＝x，则f(x－x)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x2－x.由于f(0)＝1，所以f(x)＝x2＋x＋1.
10. 已知函数f(x)＝g(x)＝x＋2.
(1) 若f(g(a))＝g(f(－1)，求a的值；
(2) 解不等式f(1－x2)>f(2x)．
解：(1) 由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a＋2，
所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a＋2)＝3.
当a＋2≥0，即a≥－2时，(a＋2)2＋1＝3，
所以a＝－2＋；当a＋2<0，即a<－2时，明显不成立，
所以a＝－2＋.
(2) 由f(1－x2)>f(2x)，知
解得－1<x<－1.
所以不等式的解集为(－1，－1)．
11. 是否存在正整数a、b，使f(x)＝，且满足f(b)＝b及f(－b)<－？若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在正整数a、b满足题意．
∵ f(x)＝，f(b)＝b，∴ ＝b，即(a－1)b＝2.
∵ a、b∈N*，∴ 或
当a＝3，b＝1时，f(x)＝，此时－b＝－1，∴ f(－b)＝f(－1)＝－>－1＝－，因此a＝3，b＝1不符合题意，舍去；
当a＝2，b＝2时，f(x)＝，此时－b＝－2，∴ f(－b)＝f(－2)＝－<－＝－，符合题意．
∴存在a＝2，b＝2满足条件使f(x)＝.