2021高中数学北师大版选修2-2导学案：《变化的快慢与变化率》.docx

第1课时　变化的快慢与变化率

1.通过实例,明白变化率在实际生活中的应用,探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义.
2.理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念,体会靠近的思想和用靠近的思想思考问题的方法.

借助多媒体播放2022年伦敦奥运会中国跳水运动员陈若琳夺得女子单人10米跳台冠军的视频.我们知道运动员的平均速度(平均变化率)不肯定能够反映她在某一时刻的运动状态,而运动员在不同时刻的运动状态是不同的,我们需要借助于瞬时速度这样的量来刻画,那么我们如何才能求出运动员在某一时刻的瞬时速度呢?

问题1:依据以上情境,设陈若琳相对于水面的高度h (单位:m)与起跳后的时间t (单位:s) 存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,假如用她在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:
(1)在0≤t≤0.5这段时间里,运动员的平均速度v-=　　　　　　　　　　　　　　　. 
(2)在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度v-=　　　　　　　　　　　　　　　. 
问题2:函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率公式是　　　　　　.假如用x1与增量Δx表示,平均变化率的公式是　　　　　 　. 
问题3:如何求函数的瞬时变化率?
对一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是ΔyΔx=f(x1)-f(x0)x1-x0=　　　　　　. 
而当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
问题4:平均变化率与瞬时变化率的关系是什么?
(1)区分:平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在点x0处变化的快慢.
(2)联系:当Δx趋于0时,平均变化率ΔyΔx趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值.

1.函数f(x)=x2在区间[-1,3]上的平均变化率是(　　).
A.4　　　　 B.2　　　　 C.14　　　　 D.34
2.在曲线y=x2+2的图像上取一点(1,3)及四周一点(1+Δx,3+Δy),则ΔyΔx等于(　　).
A.Δx+1Δx+2 B.Δx-1Δx-2 C.Δx+2 D.2+Δx-1Δx
3.函数f(x)=x+1x在区间[1,2]上的平均变化率为　　　　. 

4.婴儿从诞生到第24个月的体重变化如图,求其次年婴儿体重的月平均变化率.

平均变化率
已知函数f(x)=2x2+3x-5.
(1)求当x1=4且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx;
(2)求当x1=4且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率ΔyΔx.

瞬时变化率
一辆汽车按规律s=3t2+1做直线运动,估量汽车在t=3 s时的瞬时速度.(时间单位:s;位移单位:m)

变化率的意义
圆的面积S随着半径r的变化而变化.试分析圆的面积随半径r增大而增大的快慢状况.

已知函数f(x)=x2+x,计算f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求当x0=2,Δx=0.1时平均变化率的值.

求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的瞬时变化率.

求函数y=x2在x=1,2,3四周的平均变化率,取Δx的值为13,哪一点四周的平均变化率最大?

1.一物体的运动方程是s=3+t2,则在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度为(　　).
A.0.41　　 B.3　　　　 C.4　　　　 D.4.1
2.函数y=2x2-x在x=2四周的平均变化率是(　　).
A.7 B.7+Δx C.7+2Δx D.7+2(Δx)2
3.一质点按规律s(t)=2t3运动,则t=1时的瞬时速度为　　　　. 
4.求函数f(x)=ln x在区间[1e2,1e]上的平均变化率.

　　若一物体运动方程如下:s=3t2+2(t≥3),29+3(t-3)2(0≤t<3),(位移单位:m,时间单位:s),求:
(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度;(2)物体的初速度v0;(3)物体在t=1时的瞬时速度.

　　考题变式(我来改编):

答案
其次章　变化率与导数
第1课时　变化的快慢与变化率
学问体系梳理
问题1:(1)h(0.5)-h(0)0.5-0=4.05 m/s　(2)h(2)-h(1)2-1=-8.2 m/s
问题2:f(x2)-f(x1)x2-x1　f(x1+Δx)-f(x1)Δx
问题3:f(x0+Δx)-f(x0)Δx
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1.B　f(3)-f(-1)3-(-1)=32-(-1)24=2.
2.C　ΔyΔx=(1+Δx)2+2-(12+2)Δx=2Δx+(Δx)2Δx=2+Δx.
3.12　f(2)-f(1)2-1=2+12-(1+11)1=12.
4.解:由图可知,其次年婴儿体重的平均变化率为
14.25-11.2524-12=312=0.25(千克/月).
即其次年婴儿体重的月平均变化率为0.25(千克/月).
重点难点探究
探究一:【解析】f(x)=2x2+3x-5,
∴Δy=f(x1+Δx)-f(x1)
=2(x1+Δx)2+3(x1+Δx)-5-(2x12+3x1-5)
=2[(Δx)2+2x1Δx]+3Δx=2(Δx)2+(4x1+3)Δx.
(1)当x1=4,Δx=1时,Δy=2×12+(4×4+3)×1=21,ΔyΔx=211=21.
(2)当x1=4,Δx=0.1时,Δy=2×0.12+(4×4+3)×0.1=1.92,ΔyΔx=1.920.1=19.2.
【小结】求平均变化率的主要步骤:
(1)先计算函数值的转变量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)再计算自变量的转变量Δx=x2-x1;
(3)得平均变化率ΔyΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1.
　　探究二:【解析】当时间从3变到3+Δt时,
v-=s(3+Δt)-s(3)Δt=3(3+Δt)2+1-(3×32+1)Δt=3Δt+18,
当Δt趋于0时,v-趋于常数18.
∴这辆汽车在t=3 s时的瞬时速度为18 m/s.
【小结】要求瞬时速度可先求平均速度,Δt趋于0,则平均速度趋于瞬时速度,理解求法中的靠近思想.
　　探究三:【解析】圆的面积S随着半径r的平均变化率为
ΔSΔr=π(r+Δr)2-πr2Δr=2πrΔr+π(Δr)2Δr=2πr+πΔr,
由ΔSΔr=2πr+πΔr可知瞬时变化率2πr(很有意思,这竟是圆的周长!)随半径增大而增大,因此圆的面积增大加快.
【小结】变化率是反映变化快慢的一个数学量,可以通过求变化率来看变化的快慢状况.
思维拓展应用
应用一:函数f(x)=x2+x在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为
f(x0+Δx)-f(x0)x0+Δx-x0=(x0+Δx)2+(x0+Δx)-(x02+x0)Δx
=(2x0+1)Δx+(Δx)2Δx=2x0+1+Δx.
当x0=2,Δx=0.1时,
函数f(x)=x2+x在区间[2,2.1]上的平均变化率为2×2+1+0.1=5.1.
　　应用二:∵ΔyΔx=f(2+Δx)-f(2)Δx
=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)Δx
=-(Δx)2-ΔxΔx=-Δx-1,
∴当Δx趋于0时,ΔyΔx趋于-1.
即函数f(x)在x=2处的瞬时变化率为-1.
　　应用三:在x=1四周的平均变化率为
k1=f(1+Δx)-f(1)Δx=(1+Δx)2-1Δx=2+Δx;
在x=2四周的平均变化率为
k2=f(2+Δx)-f(2)Δx=(2+Δx)2-22Δx=4+Δx;
在x=3四周的平均变化率为
k3=f(3+Δx)-f(3)Δx=(3+Δx)2-32Δx=6+Δx.
若Δx=13,则k1=2+13=73,
k2=4+13=133,k3=6+13=193,
由于k1<k2<k3,
所以在x=3四周的平均变化率最大.
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1.D　v-=s(2.1)-s(2)Δt=3+2.12-(3+22)2.1-2=4.1.
2.C　所求的平均变化率为2(2+Δx)2-(2+Δx)-(2×22-2)Δx=7Δx+2(Δx)2Δx=7+2Δx.
3.6　ΔsΔt=2(1+Δt)3-2×13Δt=6+6Δt+2(Δt)2,当Δt趋于0时,平均速度趋于6,即瞬时速度为6.
4.解:函数f(x)=ln x在区间[1e2,1e]上的平均变化率为f(1e)-f(1e2)1e-1e2=ln1e-ln1e2e-1e2=e2e-1(-1+2)=e2e-1.
全新视角拓展
解:(1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2,
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为Δs=3×52+2-(3×32+2)=48,
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为ΔsΔt=482=24(m/s).
(2)求物体的初速度v0即求物体在t=0时的瞬时速度.
∵物体在t=0四周的平均变化率为
ΔsΔt=s(0+Δt)-s(0)Δt
=29+3[(0+Δt)-3]2-[29+3(0-3)2]Δt=3Δt-18,
∴当Δt趋于0时,ΔsΔt趋于-18,
∴物体在t=0处的瞬时变化率为-18,
即物体的初速度为-18 m/s.
(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率.
∵物体在t=1四周的平均变化率为
ΔsΔt=s(1+Δt)-s(1)Δt
=29+3[(1+Δt)-3]2-[29+3(1-3)2]Δt=3Δt-12,
∴当Δt趋于0时,ΔsΔt趋于-12,
∴物体在t=1处的瞬时变化率为-12,
即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.