2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第四章-第一节平面向量的概念及线性运算.docx

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课时提升作业(二十四)
一、选择题
1.(2021·合肥模拟)下列命题中是真命题的是　(　　)
①对任意两向量a,b,均有:|a|-|b|<|a|+|b|;
②对任意两向量a,b,a-b与b-a是相反向量;
③在△ABC中,+-=0;
④在四边形ABCD中,(+)-(+)=0;
⑤在△ABC中,-=.
(A)①②③　　　　　　　(B)②④⑤
(C)②③④ (D)②③
2.如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,CA,AB上的中线,它们交于点G,则下列各等式中不正确的是　(　　)
(A)=
(B)=2
(C)=
(D)+=
3.(2021·宜春模拟)在以下各命题中,假命题的个数为　(　　)
①“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件
②任一非零向量的方向都是唯一的
③“a∥b”是“a=b”的充分不必要条件
④若|a|-|b|=|a|+|b|,则b=0
(A)1　　　(B)2　　　(C)3　　　(D)4
4.(2021·株洲模拟)设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则　(　　)
(A)P,A,B三点共线 (B)P,A,C三点共线
(C)P,B,C三点共线 (D)以上均不正确
5.若O是A,B,P三点所在直线外一点且满足条件:=a1+a4021,其中{an}为等差数列,则a2011等于　(　　)
(A)-1　　　(B)1　　　(C)-　　　(D)
6.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是　(　　)
(A)|a+b|≤|a|+|b|
(B)|a|-|b|≤|a+b|
(C)|a|-|b|≤|a|+|b|
(D)|a|≤|a+b|
7.已知点O,N在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,则点O,N依次是△ABC的(　　)
(A)重心,外心 (B)重心,内心
(C)外心,重心 (D)外心,内心
8.(2021·西安模拟)在△ABC中,M是BC边上一点,N是AM的中点,=λ+μ,则λ+μ=　(　　)
(A) (B)
(C) (D)
9.(2021·蚌埠模拟)已知点P为△ABC所在平面上的一点,且=+t,其中t为实数,若点P落在△ABC的内部,则t的取值范围是　(　　)
(A)0<t< (B)0<t<
(C)0<t< (D)0<t<
10.设A1,A2,A3,A4是平面上给定的4个不同点,则使+++=0成立的点M的个数为　(　　)
(A)0 (B)1 (C)5 (D)10
二、填空题
11.如图,在正六边形ABCDEF中,已知=c,=d,则=　　　(用c与d表示).

12.M,N分别在△ABC的边AB,AC上,且=,=,BN与CM交于点P,设=a,=b,若=xa+yb(x,y∈R),则x+y=　　　.
13.(2021·吉安模拟)如图所示,=3,O在线段CD上,且O不与端点C,D重合,若=m+(1-m),则实数m的取值范围为　　　.
14.(力气挑战题)已知△ABC中,=a,=b,对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λa+λb,则动点P的轨迹所过的定点为　　　.
三、解答题
15.(力气挑战题)如图,在△ABC中,在AC上取点N,使得AN=AC,在AB上取点M,使得AM=AB,在BN的延长线上取点P,使得NP=BN,在CM的延长线上取一点Q,使MQ=λCM时,=,试确定λ的值.

答案解析
1.【解析】选D.①假命题.∵当b=0时,|a|-|b|=|a|+|b|,∴该命题不成立.
②真命题.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0,
∴a-b与b-a是相反向量.
③真命题.∵+-=-=0,
∴命题成立.
④假命题.∵+=,+=,
∴(+)-(+)
=-=+≠0,
∴该命题不成立.
⑤假命题.∵-=+=≠,
∴该命题不成立.
2.【思路点拨】解题时留意三角形中线对应向量的性质及三角形重心的性质.
【解析】选C.由题意知点G为三角形的重心,故=,所以C错误.
3.【解析】选A.∵a,b方向不同⇒a≠b;
∴仅有|a|=|b|a=b;
但反过来,有a=b⇒|a|=|b|.
故命题①是正确的.
命题②正确.
∵a∥ba=b,而a=b⇒a∥b,故③不正确.
∵|a|-|b|=|a|+|b|,∴-|b|=|b|,
∴2|b|=0,∴|b|=0,即b=0,故命题④正确.
综上所述,4个命题中,只有③是错误的,故选A.
4.【解析】选B.∵+=2,
∴-=-,
即=,∴P,A,C三点共线.
5.【解析】选D.由于A,B,P三点共线,且=a1+a4021,所以a1+a4021=1,故a2011==.
6.【解析】选D.由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知A,B,C恒成立,取a+b=0,则D不成立.
【误区警示】解答本题时简洁忽视向量共线的情形.
7.【解析】选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;++=0知,N为
△ABC的重心.
8.【解析】选A.设=m+n,
∵B,M,C三点共线,∴m+n=1,
又=2,
∴2=m+n,
即=+,
∴λ+μ=+=(m+n)=.
9.【解析】选D.如图,E,F分别为AB,BC的三等分点,由=
+t可知,
P点落在EF上,而=,
∴点P在E点时,t=0,
点P在F点时,t=.而P在△ABC的内部,
∴0<t<.
10.【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题.
【解析】选B.在平面中我们知道“三角形ABC的重心G满足:++=0”则此题就能很快地答出,点M即为这4个点连线组成的平面图形的重心,即点M只有1个.
11.【解析】连接BE,CF,设它们交于点O,则=d-c,
由正六边形的性质得===d-c.
又=d,
∴=+=d+(d-c)=d-c.
答案:d-c
12.【解析】如图,设=λ,=μ,
则在△ABP中,=+=a+λ=a+λ(-)
=a+λ(b-a)=(1-λ)a+b.
在△ACP中,
=+=b+μ=b+μ(-)
=b+μ(a-b)=a+(1-μ)b.
由平面对量基本定理得
解得
因此
故x+y=.
答案:
13.【解析】设=k,则k∈(0,).
∴=+=+k=+k(-)
=(1+k)-k,
又=m+(1-m),
∴m=-k,
∵k∈(0,),∴m∈(-,0).
答案:(-,0)
14.【解析】依题意,由=+λa+λb,
得-=λ(a+b),
即=λ(+).
如图,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,对角线交于点M,
则=λ,
∴A,P,D三点共线,
即P点的轨迹是AD所在的直线,由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.
答案:边BC的中点
【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧
平面对量的学问在解决平面几何中的问题时应用格外广泛:利用共线向量定理,可以证明点共线,两直线平行,并进而判定一些特殊图形;利用向量的模,可以说明线段间的长度关系,并进而求解图形的面积.在后续内容中,向量的应用将更广泛.要留意图形中的线段、向量是如何相互转化的.
15.【解析】=-=(-)=(+)=.
=-=-λ=+λ.
令=,
∴+λ=,
∴λ=(-)=,
∴λ=.
【变式备选】如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.
【解析】设=e1,=e2,
则=+=-3e2-e1,=2e1+e2.
∵A,P,M和B,P,N分别共线,
∴存在λ,μ∈R,
使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2.
故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2,
而=+=2e1+3e2,
∴∴
∴=,∴=,
即AP∶PM=4.

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