高一数学北师大版必修二同步练习:第2章-解析几何初步-(9)-Word版含答案.docx
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解析几何初步 一.选择题 1.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为 Ax+y-2=0 Bx+y-4=0 Cx-y+4=0 Dx-y+2=0 2.由点M(5,3)向圆所引切线长是( ) A. B. C. 51 D . 1 3.在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为( ) A. B. C. D. 4.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的范围是 A(4,6) B[4,6) C(4,6] D[4,6] 5.已知直线ax+by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|、|b|、|c|的三角形( ) A是锐角三角形 B是直角三角形 C是钝角三角形 D不存在 6.若动圆与圆相外切,且与直线x=2相切,则动圆圆心的轨迹方程是( ) A. y2+12x-12=0 B. y2-12x+12=0 C. y2+8x=0 D. y2-8x=0 7.(06年北京)平面的斜线交于点,过定点的动直线与垂直,且交于点,则动点的轨迹是( ) A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D. 双曲线的一支 8.(06年湖北)已知平面区域由以、、为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域 上有无穷多个点可使目标函数取得最小值,则 ( ) A. B. C. D. 4 9.(05年天津)将直线沿轴向左平移1个单位,所得直线与圆 相切,则实数的值为 ( ) A.-3或7 B.-2或8 C.0或10 D.1或11 10. “m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 二.填空题 11.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2),则圆C的方程为____________ 12.过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= ____ 13.两圆x2+y2=16 及(x-4)2+(y+3)2=R(R>0)在交点处的切线相互垂直,则R=__________ 14.已知P(1,2)为圆x2+y2=9内肯定点,过P作两条相互垂直的任意弦交圆于点B、C,则BC中点M的轨迹方程为____________ 三.解答题 15.方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求a的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程 16.一个圆的圆心在直线x-y-1=0上,与直线4x+3y+14=0相切,在3x+4y+10=0上截得弦长为6,求圆的方程 17.已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由 18.求圆C1: 与圆C2: 的公共弦所在直线被圆C3:所截得的弦长 19.在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2,宽为1,AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上,A点与坐标原点重合(如图5所示).将矩形折叠,使A点落在线段DC上. (Ⅰ)若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕所在直线的方程; (Ⅱ)求折痕的长的最大值. O (A) B C D X Y 参考答案: 1.解法一:x2+y2-4x=0, y=kx-k+x2-4x+(kx-k+)2=0 该二次方程应有两相等实根,即Δ=0,解得k= ∴y-=(x-1),即x-y+2=0 解法二:∵点(1,)在圆x2+y2-4x=0上, ∴点P为切点,从而圆心与P的连线应与切线垂直 又∵圆心为(2,0),∴·k=-1 解得k=,∴切线方程为x-y+2=0 答案:D 2.答案: A 3.答案: B 4.答案:A 5.答案:B 解:由题意得=1,即c2=a2+b2,∴由|a|、|b|、|c|构成的三角形为直角三角形 6.答案: A 7.答案:A 解:由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,所以AC始终在与直线AB垂直的平面内,再由两平面有且只有一条交线,所以轨迹是一个直线.. 8.答案:C 解:由、、的坐标位置知,所在的区域在第一象限,故.由得,它表示斜率为. (1)若,则要使z取得最小值,必需使最小,此时需,即1; (2)若,则要使z取得最小值,必需使最大,此时需,即2,与冲突.综上可知,1. 9.答案:A 解:由题意可知:直线沿轴向左平移1个单位后的直线为: .已知圆的圆心为,半径为.直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于圆的半径,因而有,得或7. 10.答案:B 解:当时两直线斜率乘积为,从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0,一条斜率不存在,但两直线仍旧垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件. 11.答案:(x-2)2+(y+3)2=5 解:∵圆C与y轴交于A(0,-4),B(0,-2),∴由垂径定理得圆心在y=-3这条直线上又已知圆心在直线2x-y-7=0上,∴联立y=-3,2x-y-7=0 解得x=2, ∴圆心为(2,-3),半径r=|AC|== ∴所求圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5 12.答案: 13.答案:3 提示:用勾股定理推导出所求直线垂直于CP 14.答案:x2+y2-x-2y-2=0 解:Rt△OMC中,|MP|=|BC|(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)故所求轨迹方程为x2+y2-x-2y-2=0 15.解:(1)∵a≠0时,方程为[x-]2+(y+)2=, 由于a2-2a+2>0恒成立,∴a≠0且a∈R时方程表示圆 (2)r2=4·=4[2(-)2+], ∴a=2时,rmin2=2 此时圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2 16.解:由圆心在直线x-y-1=0上,可设圆心为(a,a-1),半径为r,由题意可得 ,经计算得a=2,r=5 所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=25 17.解:设直线L的斜率为1,且L的方程为y=x+b,则 消元得方程2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2,则x1+x2=-(b+1),y1+y2= x1+x2+2b=b-1,则AB中点为,又弦长为=,由题意可列式=解得b=1或b=-9,经检验b=-9不合题意.所以所求直线方程为y=x+1 18.解: 圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为: 即x+y-1=0 圆心C3到直线x+y-1=0的距离. 所以所求弦长为. 19..解(I) (1)当时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程 (2)当时,将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1) 所以A与G关于折痕所在的直线对称,有 故G点坐标为,从而折痕所在的直线与OG的交点坐标(线段OG的中点)为,折痕所在的直线方程,即 由(1)(2)得折痕所在的直线方程为:k=0时,;时 (II)(1)当时,折痕的长为2; (1) 当时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为 令解得 ∴ 所以折痕的长度的最大值2 A 60º y x M Q P O 【挑战自我】 如图,在直角坐标系xOy中,射线OA在第一象限内,且与x轴的正向成定角60º,动点P在射线OA上运动,动点Q在y轴正半轴上运动.△POQ的面积为定值. (1)求线段PQ的中点M的轨迹C的方程; (2)R1、R2是曲线C上的动点,R1、R2到y轴的距离之和为1,设u为R1、R2到x轴距离之积,是否存在最大的常数m,使u≥m恒成立?假如存在,求出这个m的值,假如不存在,请说明理由. 解:(1)依题意,射线OA的方程为y=, 设M(x,y),P(t,)(t>0),则Q点的坐标为(2x-t,2y-), ∵,即. 又Q点在y轴上,∴2x-t=0,即t=2x,于是:x|y-|=. ∵点P在∠AOQ的内部,∴ y->0,且x>0,y>0. 因此有 ,这就是M点的轨迹方程. (2)设R1(x1,y1),R2(x2,y2),则x1+x2=1,y1y2=u ∴ u=y1y2=3(=3 ∵x1>0,x2>0,x1+x2=1,∴0 于是 ,,∴ 因此,当时,u≥m恒成立,故m的最大值为. 【答案及点拨】 演化1:直线BC的斜率kBC=-, ∵直线AC与直线BC垂直,∴直线AC的方程为y-4=(-5)即3-2y-7=0 ∵∠ABC=45°,∴ kAB=-5或kAB= ∴AB边所在的直线方程为:y-4=(-5)或y-4=-5(-5) 即-5y+15=0或5+y-29=0 演化2:由ÞA(─1,0)又kAB=1, ∵ x轴是∠A的平分线, ∴kAC=─1,∴AC: y=─(x+1), 又kBC=─2, ∴BC: y─2=─2(x─1) 由ÞC(5,─6) 演化3 :由题意知f(0)>0,f(1)<0,f(2)>0b>0,a+b+1<0,a+b+2>0 如图所示 A(-3,1)、B(-2,0)、C(-1,0) 又由所要求的量的几何意义知,值域分别为 (1)(,1);(2)(8,17);(3)(-5,-4) 演化4: 已知圆方程化为: ,其圆心P(1,0),半径为1 设所求圆的圆心为C(a,b), 则半径为, 由于两圆外切, , 从而1+ (1) 又所求圆与直线:相切于M(), 直线,于是, 即 (2) 将(2)代入(1)化简,得a2-4a=0, a=0或a=4 当a=0时,,所求圆方程为 当a=4时,b=0,所求圆方程为 演化5:由已知可得圆C:关于x轴对称的圆C‘的方程为,其圆心C‘(2,-2),则与圆C’相切, 设: y-3=k(x+3), , 整理得12k2+ 25k+12=0, 解得或, 所以所求直线方程为y-3= (x+3)或 y-3= (x+3), 即 3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 演化6:(1)问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆作切线,其中切线斜率的最大值即为的最大值 设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0, 由,解得或 (2)x,y满足, 另法:应用线性规划的思路,如图, 2x-y的最小值或最大值就在直线2x-y=b与圆的切点处达到. 由,解得或 演化7:建立坐标系如图所示,设|AB|=2a,则A(-a,0),B(a,0) 设M(x,y)是轨迹上任意一点 则由题设,得=λ,坐标代入,得=λ,化简得 (1-λ2)x2+(1-λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1-λ2)a2=0 (1)当λ=1时,即|MA|=|MB|时,点M的轨迹方程是x=0,点M的轨迹是直线(y轴) (2)当λ≠1时,点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0 点M的轨迹是以(-,0)为圆心,为半径的圆 演化8 设AB的中点为R,坐标为(x,y),则在Rt△ABP中,|AR|=|PR| 又由于R是弦AB的中点,依垂径定理 在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x-4)2+y2=36-(x2+y2),即x2+y2-4x-10=0 因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y),R(x1,y1),由于R是PQ的中点,所以x1=, 代入方程x2+y2-4x-10=0,得-10=0 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程- 配套讲稿:
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