2021高考数学(广东专用-理)一轮题库：第3章-第2讲-导数的应用.docx

第2讲 导数的应用(一)
一、选择题
1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)．
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
解析　设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0，
由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
答案　D
2．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是 (　　)．
A．(－2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
解析　由条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈(－2，＋∞)．
答案　A
3．函数f(x)＝(4－x)ex的单调递减区间是 (　　)．
A．(－∞，4) B．(－∞，3)
C．(4，＋∞) D．(3，＋∞)
解析　f′(x)＝ex＋(4－x)·ex＝ex(3－x)，令f′(x)<0，由于ex>0，∴3－x<0，解得x>3.
答案　D
4．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为(　　)
A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析 f′(x)＝3ax2＋b，由f′＝3a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D.
答案 D
5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)．
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析　不等式(x－1)f′(x)≥0等价于或

可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)．
答案　C
6．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示．

下列关于函数f(x)的命题：
①函数y＝f(x)是周期函数；
②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③假如当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点．
其中真命题的个数有 (　　)．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析　依题意得，函数f(x)不行能是周期函数，因此①不正确；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，因此函数f(x)在[0,2]上是减函数，②正确；当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，依题意，结合函数f(x)的可能图象外形分析可知，此时t的最大值是5，因此③不正确；留意到f(2)的值不明确，结合图形分析可知，将函数f(x)的图象向下平移a(1<a<2)个单位后相应曲线与x轴的交点个数不确定，因此④不正确．综上所述，选D.
答案　D
二、填空题
7．函数y＝x－2sin x在[0，π]上的递增区间是________．
解析　y′＝1－2cos x，令1－2cos x≥0，得cos x≤，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈R，又0≤x≤π，∴≤x≤π.
答案　
8．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得微小值．
解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，明显当x＝2时f(x)取微小值．
答案 2
9．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析　∵f′(x)＝5ax4＋，x∈(0，＋∞)，
∴由题意知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解．
即a＝－在(0，＋∞)上有解．
∵x∈(0，＋∞)，∴－∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．
答案　(－∞，0)
10．已知函数y＝－x3＋bx2－(2b＋3)x＋2－b在R上不是单调减函数，则b的取值范围是________．
解析　y′＝－x2＋2bx－(2b＋3)，要使原函数在R上单调递减，应有y′≤0恒成立，∴Δ＝4b2－4(2b＋3)＝4(b2－2b－3)≤0，∴－1≤b≤3，故使该函数在R上不是单调减函数的b的取值范围是b<－1或b>3.
答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
三、解答题
11．设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝ex·f(x)的单调区间．
解　f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．
由于x＝2是函数y＝f(x)的极值点．
所以f′(2)＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1，
阅历证，当a＝1时，x＝2是函数f(x)的极值点，
所以g(x)＝ex(x3－3x2)，
g′(x)＝ex(x3－3x2＋3x2－6x)
＝ex(x3－6x)＝x(x＋)(x－)ex.
由于ex>0，所以y＝g(x)的单调增区间是(－，0)和(，＋∞)；单调减区间是(－∞，－)和(0，)．
12．已知函数f(x)＝x3－ax－1
(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在试说明理由．
解 (1)f′(x)＝3x2－a
由Δ≤0，即12a≤0，解得a≤0，
因此当f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增时，a的取值范围是(－∞，0]．
(2)若f(x)在(－1,1)上单调递减，
则对于任意x∈(－1,1)不等式f′(x)＝3x2－a≤0恒成立
即a≥3x2，又x∈(－1,1)，则3x2<3因此a≥3
函数f(x)在(－1,1)上单调递减，实数a的取值范围是[3，＋∞)．
13．已知函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
解　(1)依据题意知，f′(x)＝(x＞0)，
当a＞0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；当a＝0 时，f(x)不是单调函数．
(2)∵f′(2)＝－＝1，∴a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3.
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，
∴
由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)＜0恒成立，
∴∴－＜m＜－9.
14．设函数f(x)＝ln x＋在内有极值．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)．求证：f(x2)－f(x1)>e＋2－.注：e是自然对数的底数．
(1)解　易知函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，
f′(x)＝－＝＝.
由函数f(x)在内有极值，可知方程f′(x)＝0在内有解，令g(x)＝x2－(a＋2)x＋1＝(x－α)(x－β)．
不妨设0<α<，则β>e，又g(0)＝1>0，
所以g＝－＋1<0，解得a>e＋－2.
(2)证明　由(1)知f′(x)>0⇔0<x<α或x>β，
f′(x)<0⇔α<x<1或1<x<β，
所以函数f(x)在(0，α)，(β，＋∞)上单调递增，在(α，1)，(1，β)上单调递减．
由x1∈(0,1)得f(x1)≤f(α)＝ln α＋，
由x2∈(1，＋∞)得f(x2)≥f(β)＝ln β＋，
所以f(x2)－f(x1)≥f(β)－f(α)．
由(1)易知α·β＝1，α＋β＝a＋2，
所以f(β)－f(α)＝ln β－ln＋a＝2ln β＋a·＝2ln β＋a·＝2lnβ＋β－.
记h(β)＝2ln β＋β－(β>e)，
则h′(β)＝＋1＋＝2>0，
所以函数h(β)在(e，＋∞)上单调递增，
所以f(x2)－f(x1)≥h(β)>h(e)＝2＋e－.