2022高考总复习(人教A版)高中数学-第八章-平面解析几何-第5讲-椭圆.docx
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1、第5讲椭圆1椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若ac,则集合P为椭圆;(2)若ac,则集合P为线段;(3)若ac,则集合P为空集2椭圆的标准方程和几何性质标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴:x轴、y轴对称中心:(0,0)顶点A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b) A1(0,a),A2(0,a) B1(b,0),B2(b,0)轴长
2、轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|2c离心率e,e(0,1)a,b,c的关系c2a2b2做一做1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()A.1B.1C.1 D.1解析:选D.右焦点为F(1,0)说明两层含义:椭圆的焦点在x轴上;c1.又离心率为,故a2,b2a2c2413,故椭圆的方程为1.2(2021浙江省名校联考)已知F1,F2是椭圆1的两个焦点,过点F2作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,则F1AB的周长为_解析:由已知可得F1AB的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8.答案:81辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视2a|
3、F1F2|这一条件,当2a|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2,当2a|F1F2|时,不存在轨迹(2)求椭圆的标准方程时易忽视推断焦点的位置,而直接设方程为1(ab0)2求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法:依据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程,结合已知条件求出a、b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x轴上和y轴上两种状况争辩,也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0,B0,AB)做一做3若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为()A.y21 B.1C.y21或1 D以上答案都不对解析:选
4、C.直线与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),由题意知当焦点在x轴上时,c2,b1,a25,所求椭圆的标准方程为y21.当焦点在y轴上时,b2,c1,a25,所求椭圆标准方程为1.故选C.4(2021江苏常州调研)若方程1表示椭圆,则k的取值范围是_解析:由已知得,解得3kb0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点若AF1B的周长为4,则C的方程为()A.1 B.y21C.1 D.1解析(1)依题意,设椭圆方程为1(ab0),则有,由此解得a220,b25,因此所求的椭圆方程是1.(2)由e,得.又AF1B的周长为4,由椭圆定义,得4a4,得a,代入得c1,b2
5、a2c22,故C的方程为1.答案(1)C(2)A规律方法用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤:(1)作推断:依据条件推断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能(2)设方程:依据上述推断设出方程(3)找关系:依据已知条件,建立关于a,b,c的方程组(4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求1.(1)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(,),则椭圆的方程为_;(2)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且.若PF1F2的面积为9,则b_解析:(1)设椭圆方程为mx2ny21(m0,n0,且mn)椭圆经过P1,
6、P2两点,P1,P2点坐标适合椭圆方程,则两式联立,解得所求椭圆方程为1.(2)设|PF1|r1,|PF2|r2,则2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2,SPF1F2r1r2b29,b3.答案:(1)1(2)3_椭圆的几何性质(高频考点)_椭圆的几何性质是高考的热点,高考中多以小题毁灭,试题难度一般较大,高考对椭圆几何性质的考查主要有以下三个命题角度:(1)依据椭圆的性质求参数的值或范围;(2)由性质写椭圆方程;(3)求离心率的值或范围(1)已知椭圆1(ab0)的一个焦点是圆x2y26x80的圆心,且短轴长为8,则椭圆的左顶点为()A(3,0) B(4,0)C(10,0) D(5
7、,0)(2)椭圆1的离心率为,则k的值为()A21 B21C或21 D.或21(3)(2022高考江西卷)设椭圆C:1(ab0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若ADF1B,则椭圆C的离心率等于_.扫一扫进入91导学网()椭圆及其几何性质解析(1)圆的标准方程为(x3)2y21,圆心坐标为(3,0),c3.又b4,a5.椭圆的焦点在x轴上,椭圆的左顶点为(5,0)(2)若a29,b24k,则c,由,即,得k;若a24k,b29,则c,由,即,解得k21.(3)直线AB:xc,代入1,得y.A,B.kBF1.直线BF1:y0(xc)令x0
8、,则y,D,kAD.由于ADBF1,1,3b44a2c2,b22ac,即(a2c2)2ac,e22e0,e.e0,e.答案(1)D(2)C(3)若本例(3)条件变为“过F1,F2的两条相互垂直的直线l1,l2的交点在椭圆的内部”,求离心率的取值范围解:作图分析可知以线段F1F2为直径的圆在椭圆的内部(图略),所以cb,从而c2b2,即c2a2c2,()2,0,故e(0,)规律方法(1)求椭圆的离心率问题的一般思路:求椭圆的离心率或其范围时,一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等式(或不等式),利用a2b2c2消去b,即可求得离心率或离心率的范围(2)利用椭圆几何性质的技巧:求解与椭圆几何性质
9、有关的问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的内在联系2.(1)已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是()A.1B.1或1C.1 D.1或1(2)设e是椭圆1的离心率,且e(,1),则实数k的取值范围是()A(0,3) B(3,)C(0,3)(,) D(0,2)(3)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1,B2,焦点为F1,F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则这个椭圆的离心率e等于()A. B.C. D.(4) (2021安徽合肥质检)如图,焦点在x轴上的椭圆1的离心率e,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则
10、的最大值为_解析:(1)a4,e,c3.b2a2c21697.椭圆的标准方程是1或1.(2)当4k时,e(,1),即114k4,即0k3;当4k时,e(,1),即1110k.(3) 如图所示,由于四边形B1F1B2F2是正方形,则OB1F2是等腰直角三角形法一:由于|OF2|c,|B1F2|a,OF2B145,所以椭圆的离心率ecosOF2B1cos 45.法二:由于|OB1|OF2|,所以bc,所以b2c2,所以a2b2a2c2c2,所以a22c2,所以e.(4)设P点坐标为(x0,y0)由题意知a2,e,c1,b2a2c23.故所求椭圆方程为1.2x02,y0.F(1,0),A(2,0),
11、(1x0,y0),(2x0,y0),xx02yxx01(x02)2.即当x02时,取得最大值4.答案:(1)B(2)C(3)A(4)4_直线与椭圆的位置关系_(2022高考陕西卷) 已知椭圆1(ab0)经过点(0,),离心率为,左,右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0) (1)求椭圆的方程;(2)若直线l:yxm与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足,求直线l的方程解(1)由题设知解得椭圆的方程为1.(2)由题设,以F1F2为直径的圆的方程为x2y21,圆心到直线l的距离d,由d1,得|m|.(*)|CD|22 .设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得x2
12、mxm230,由根与系数的关系可得x1x2m,x1x2m23.|AB| .由,得 1,解得m,满足(*)直线l的方程为yx或yx.规律方法(1)直线与椭圆位置关系推断的步骤:联立直线方程与椭圆方程;消元得出关于x(或y)的一元二次方程;当0时,直线与椭圆相交;当0时,直线与椭圆相切;当0时,直线与椭圆相离(2)直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AB|(k为直线斜率)3. 如图,点F1(c,0),F2(c,0)分别是椭圆C:1(ab0)的左,右焦点,过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P,过点F2作直线PF2的垂线交直线x于点Q. (1)假
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