2020年数学文(广西用)课时作业：第八章-第二节双曲线.docx

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课时提升作业(三十九)
一、选择题
1.(2021·南昌模拟)已知双曲线mx2-ny2=1(m>0,n>0)的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
2.(2021·桂林模拟)双曲线-=1的渐近线方程是(　　)
(A)y=±x (B)y=±x
(C)y=±x (D)y=±x
3.(2021·柳州模拟)双曲线-=1,左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为
30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
4.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为(　　)
(A)-=1 (B)-=1
(C)-=1 (D)-=1
5.(2021·贺州模拟)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为(　　)
(A) (B) (C) (D)
6.(2022·浙江高考)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是(　　)
(A)3 (B)2 (C) (D)
7.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个顶点与抛物线y2=20x的焦点重合,该双曲线的离心率为,则该双曲线的渐近线斜率为(　　)
(A)±2 (B)± (C)± (D)±
8.(力气挑战题)设F1,F2分别是双曲线-y2=1的左、右焦点,P在双曲线上,当
△F1PF2的面积为2时,·的值为(　　)
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6
二、填空题
9.(2021·西安模拟)已知双曲线-=1的右焦点的坐标为(,0),则该双曲线的渐近线方程为　　　.
10.(2022·重庆高考)设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=　　　　.
11.(力气挑战题)过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线,交双曲线于A,B两点,设双曲线的左顶点为M,若点M在以AB为直径的圆的内部,则此双曲线的离心率e的取值范围为　　　.
三、解答题
12.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.
(3)求△F1MF2的面积.
13.P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:-=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左,右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率.
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.
14.(2021·绵阳模拟)焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点N(0,)为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与N关于直线y=x对称.
(1)求双曲线C的方程.
(2)设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A,B两点,另始终线l经过M(-2,0)及AB的中点,求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

答案解析
1.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得:
=2,
解得:m=3n,又m>0,n>0,
∴m>n,即>,
故由椭圆mx2+ny2=1得+=1.
∴所求椭圆的离心率为:e===.
【误区警示】本题极易造成误选而失分,根本缘由是由于将椭圆mx2+ny2=1焦点所在位置弄错,从而把a求错造成.
2.【解析】选D.由双曲线标准方程-=1可知,a=2,b=3.焦点落在x轴上,故渐近线方程为y=±x,故选D.
3.【解析】选B.如图,|MF1|-|MF2|=2a,
|MF1|=2|MF2|,故|MF2|=2a,
又|F1F2|=|MF2|,即2c=2a,
∴e=,故选B.

4.【解析】选B.由题意可知
解得
所以双曲线的方程为-=1.
5.【解析】选D.由于焦点在x轴上与焦点在y轴上的离心率一样,所以不妨设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),则双曲线的渐近线的斜率k=±,一个焦点坐标为F(c,0),一个虚轴的端点为B(0,b),所以kFB=-,又由于直线FB与双曲线的一条渐近线垂直,所以k·kFB=(-)=-1(k=-明显不符合),
即b2=ac,c2-a2=ac,所以,c2-a2-ac=0,
即e2-e-1=0,解得e=(负值舍去).
【变式备选】(2021·玉林模拟)设e1,e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足·=0,则的值为(　　)
(A) (B)1 (C)2 (D)不确定
【解析】选C.如图,可设P在第一象限,由于共焦点,所以焦距相等,设为2c.设椭圆中长半轴长、短半轴长分别为a1,b1,双曲线中实半轴长、虚半轴长分别为a2,b2.
由于·=0,所以⊥,从而有|PF1|2+=|F1F2|2=4c2

①+②可得4+4=8c2,
整理可得+=2c2,
故+=2,故+=2,
因=+=2,故选C.
6.【解析】选B.设双曲线的方程为-=1(a1>0,b1>0),椭圆的方程为+=1(a2>0,b2>0),
由于M,O,N将椭圆长轴四等分,
所以a2=2a1,又e1=,e2=,所以==2.
7.【解析】选C.由抛物线y2=20x的焦点坐标为(5,0),可得双曲线-=1的一个顶点坐标为(5,0),
即得a=5,又由e===,解得c=.
则b2=c2-a2=,即b=,由此可得双曲线的渐近线的斜率为k=±=±.
8.【解析】选B.设点P(x0,y0),依题意得,
|F1F2|=2=4,
=|F1F2|×|y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1,
又-=1,∴=3(+1)=6,
∴·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)
=+-4=3.
【变式备选】(2021·柳州模拟)双曲线-=1的虚轴端点与一个焦点连线的中点在与此焦点对应的准线上,PQ是双曲线的一条垂直于实轴的弦,O为坐标原点,则·等于(　　)
(A)0 (B)a2 (C)-a2 (D)a2+b2
【解析】选B.不妨设虚轴端点A(0,b),据题意知A(0,b)与焦点F(c,0)的中点(,)在双曲线的准线x=上,故=⇒c2=2a2,故双曲线方程可化为x2-y2=a2,设垂直于实轴的弦PQ上点P(x1,y1),Q(x1,-y1),故·=-,又点P(x1,y1)在双曲线上,故-=a2,即·=a2.
9.【解析】∵右焦点坐标是(,0),
∴9+a=13,即a=4,
∴双曲线方程为-=1,
∴渐近线方程为±=0,即2x±3y=0.
答案:2x±3y=0
10.【思路点拨】依据题意可求出点P的坐标,然后再依据点P在直线y=x上可求出离心率的值.
【解析】由题意可知点P的横坐标为-c,代入双曲线的方程可得-=1,
解得y=±,由条件可知P(-c,-),
由于点P在直线y=x上,
所以-=×(-c),解得c=3b,
所以a=2b,e==.
答案:
11.【思路点拨】设出双曲线方程,表示出点F,A,B的坐标,由点M在圆内部列不等式求解.
【解析】设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),右焦点F坐标为F(c,0),令A(c,),B(c,-),
所以以AB为直径的圆的方程为(x-c)2+y2=.
又点M(-a,0)在圆的内部,所以有(-a-c)2+0<,
即a+c<⇒a2+ac<c2-a2,
⇒e2-e-2>0(e=),解得:e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2.
答案:(2,+∞)
12.【解析】(1)∵e=,
∴可设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).
∵过点P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)方法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,
∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).
∴=,=,
·==-.
∵点M(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,m2=3.
故·=-1,∴MF1⊥MF2.
∴·=0.
方法二:∵=(-3-2,-m),
=(2-3,-m),
∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.
∵M(3,m)在双曲线上,
∴9-m2=6,即m2-3=0.∴·=0.
(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,
△F1MF2的边F1F2的高h=|m|=,∴=6.
13.【思路点拨】(1)代入P点坐标,利用斜率之积为列方程求解.
(2)联立方程,设出A,B,的坐标,代入=λ+求解.
【解析】(1)由点P(x0,y0)(x0≠±a)在双曲线-=1上,有-=1.
由题意又有·=,
可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.
(2)联立方程得得4x2-10cx+35b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
设=(x3,y3),=λ+,
即
又C为双曲线E上一点,即-5=5b2,
有(λx1+x2)2-5(λy1+y2)2=5b2,
化简得:λ2(-5)+(-5)+2λ(x1x2-5y1y2)=5b2,又A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线E上,
所以-5=5b2,-5=5b2.
又x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)
=-4x1x2+5c(x1+x2)-5c2=10b2,
得:λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-4.
14.【解析】(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,
∵该直线与圆x2+(y-)2=1相切,
∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x,
故双曲线C的方程为-=1.
又双曲线C的一个焦点为(,0),
∴2a2=2,a2=1,∴双曲线C的方程为x2-y2=1.
(2)由得(1-m2)x2-2mx-2=0,
令f(x)=(1-m2)x2-2mx-2,
直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在(-∞,0)上有两个不等实数根,
因此解得1<m<,
又AB中点为(,),
∴直线l的方程为y=(x+2),
令x=0得b==,
∵m∈(1,),∴-2(m-)2+∈(-2+,1),
∴b的取值范围是(-∞,-2-)∪(2,+∞).

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