高中数学(北师大版)选修1-1教案：第2章-抛物线-第二课时参考教案.docx

2.2.2 抛物线的简洁性质
教学目的：
1．把握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．把握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；
3．在对抛物线几何性质的争辩中，留意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
课时支配：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入： 抛物线的几何性质：
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率

轴

轴

轴

轴

留意强调的几何意义：是焦点到准线的距离
抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
二、讲解新课：
1.抛物线的焦半径及其应用：
定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径
焦半径公式：
抛物线，
抛物线，
抛物线，
抛物线，
2．直线与抛物线：
（1）位置关系：
相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）
下面分别就公共点的个数进行争辩：对于
当直线为，即，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点
当，设
将代入，消去y，得到
关于x的二次方程 （*）
若，相交；，相切；，相离
综上，得：
联立，得关于x的方程
当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）
当，则
若，两个公共点（交点）
，一个公共点（切点）
，无公共点 （相离）
（2）相交弦长：
弦长公式：，其中a和分别是（*）中二次项系数和判别式，k为直线的斜率
当代入消元消掉的是y时，得到，此时弦长公式相应的变为：

（3）焦点弦：
定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到：
当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：
抛物线，
抛物线，
当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：
抛物线，
抛物线，
（4）通径：
定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦
直接应用抛物线定义，得到通径：
（5）若已知过焦点的直线倾斜角
则

（6）常用结论：
和
和
3．抛物线的法线：
过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质：
经过抛物线上一点作始终线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图．
抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，假如把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的

4．抛物线的参数方程：（t为参数）
三、讲解范例：
例 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
分析：观看图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，假如能证明x轴是它们公共的对称轴，则简洁求出三角形边长．
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则 ，
又|OA|＝|OB|，所以
即

∵　，∴　．
由此可得，即线段AB关于x轴对称．
由于x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以
所以，
四、课堂练习：
1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长（答案：边长为）
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程
分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，
又∵ 圆过点， ∴ 所求圆的方程为
3．已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：）
4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程
答案：（1）； ；（2）直线过定点
（3）点的轨迹方程为
5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）
6．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：）
7．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程（答案：）
8．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（答案：或）
五、小结 ：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、测 试 题：
1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（　　　）
(A) x2＝8y (B) x2＝4y (C) x2＝2y (D)
2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，） (D) （1，±）
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为　　　　
4．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是　　
5．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．
测试题答案：
1．A 2．D 3．x2＝±8y 4． 5．