【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第8章-第4节-空间中的平行关系.docx

第八章　第四节

一、选择题
1．下列命题中正确的个数是(　　)
①若直线a不在α内，则a∥α；
②若直线l上有很多个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；
④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；
⑤平行于同一平面的两直线可以相交．
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　B
[解析]　a∩α＝A时，a⃘α，故①错；
直线l与α相交时，l上有很多个点不在α内，故②错；
l∥α时，α内的直线与l平行或异面，故③错；
l∥α，l与α无公共点，所以l与α内任一条直线都无公共点，④正确；
长方体中的相交直线A1C1与B1D1都与面ABCD平行，所以⑤正确．
2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)

A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[答案]　B
[解析]　①由平面ABC∥平面MNP，可得AB∥平面MNP.

④由AB∥CD，CD∥NP，得AB∥NP，所以AB∥平面MNP.

3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，mα，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⃘α，则m∥α
[答案]　D
[解析]　如图(1)，β∥α，mβ，nβ，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；

如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；
如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，mα，m∥l，故C错．
D选项证明如下：
α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β，
∵m⊥β，∴m∥n，∵nα，m⃘α，∴m∥α.
4．(文)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n　 B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
[答案]　C
[解析]　若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或异面，A错误；若m∥α，m∥β，则α与β可能平行也可能相交，B错误；若m∥n，m⊥α，则由线面垂直的性质定理可得n⊥α，C正确；若m∥α，α⊥β，则m可能在β内可能平行，也可能垂直，D错误．
(理)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若b⊥α，l∥β，则α∥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
[答案]　B
[解析]　本题考查了空间线面关系．
若α∩β＝m，l∥m，l⃘α，l⃘β，则A错．
垂直于同始终线的两平面平行，B正确．
当l⊥α，l∥β时α⊥β，C错，若α⊥β，l∥α，则l与β关系不确定，D错．
5．(2021·聊城模拟)设a、b、c表示三条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是(　　)
A．⇒c⊥β
B．⇒b⊥c
C．⇒c∥α
D．⇒b⊥α
[答案]　D
[解析]　由a∥α，b⊥α可得b与α的位置关系有：b∥α，bα，b与α相交，所以D不正确．
6．(文)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是(　　)
A．m∥β且l1∥α　　　 B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
[答案]　B
[解析]　本小题主要考查线面平行、面面平行、充要条件等基础学问．
易知选项A、C、D推不出α∥β，只有B可推出α∥β，且α∥β不愿定推出B，
∴B项为α∥β的一个充分而不必要条件，选B．
(理)如图，在四周体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为(　　)

A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
[答案]　C
[解析]　∵截面PQMN为正方形，
∴PQ∥MN，PQ∥平面DAC．
又∵平面ABC∩平面ADC＝AC，PQ平面ABC，
∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．
故选项A、B、D正确，C错误．
二、填空题
7．(文)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
[答案]　
[解析]　由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.
(理)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

[答案]　
[解析]　本题考查线面平行．
由EF∥平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，知EF∥AC．所以由E是中点知EF＝AC＝.
8．(文)在四周体ABCD中，M、N分别是面△ACD，△BCD的重心，则四周体的四个面中与MN平行的是________．

[答案]　平面ABC与平面ABD
[解析]　连BN延长交CD于点E，连AM并延长也与CD交于E点(由于E为CD中点)，又＝＝，故MN∥AB．所以MN∥平面ABC且MN∥平面ABD．
(理)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．
[答案]　6
[解析]　过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．
9．已知平面α∩β＝m，直线n∥α，n∥β，则直线m、n的位置关系是________．
[答案]　m∥n
[解析]　在α内取点A∉m，则点A与n确定一平面θ，且θ∩α＝A．同理可作平面γ且γ∩β＝B．
∵n∥α，n∥β，
∴n∥a，n∥B．
∴a∥B．
∵a⃘β，bβ，
∴a∥β.
∵aα，α∩β＝m，
∴a∥m，∴n∥m.
三、解答题
10．(2022·安徽高考)如图，四棱锥P－ABCD的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明： GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
[解析]　∵BC∥平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，

∴GH∥BC．
同理可证EF∥BC，∴GH∥EF.
(2)连接AC，BD交于一点O，BC交EF于K，连接OP、GK.
由于PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，
同理可证PO⊥BD，
又∵BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，∴PO⊥平面ABCD，
又∵平面GEFH⊥平面ABCD，PO⃘平面GEFH，
∴PO∥平面GEFH.
又∵平面GEFH∩平面PBD＝GK，
∴PO∥GK，且GK⊥平面ABCD，
∴GK⊥EF，
所以GK是梯形GEFH的高．
∵AB＝8，EB＝2，
∴EBAB＝KBDB＝14，
∴KB＝DB＝OB，即K为OB的中点，
又∵PO∥GK，
∴GK＝PO，即G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
又由已知得OB＝4，PO＝＝＝6.
∴GK＝3.
∴四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.

一、选择题
1．(文)设m，l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，mα，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，mα，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
[答案]　B
[解析]　两平行线中一条垂直于一个平面，另一条边垂直于这个平面，故选B．
(理)已知两条互不重合的直线m、n，两个互不重合的平面α、β，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；④若m⊥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A．0　　　　 B．1　　　　
C．2　　　　 D．3
[分析]　本题考查线面的位置关系．虽然是一道单选题，但更似一道多选题，对所述四个命题的推断有一个出错就不行能产生正确结果．
[答案]　B
[解析]　命题①是正确的；命题②不正确，很简洁找到反例；命题③也不正确，可以构造出α∥β的情形；命题④也不正确，可以构造出α⊥β的情形．
2．(文)已知两条直线m、n，两个平面α、β.给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，mα，nβ⇒m∥n；
③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.
其中正确命题的序号是(　　)
A．①③ B．②④
C．①④ D．②③
[答案]　C
[解析]　两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，故①正确；两平面平行，分别在这两平面内的两直线可能平行，也可能异面，故②错；m∥n，m∥α时，n∥α或nα，故③错；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β，n∥m得n⊥β，故④正确．
(理)已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不愿定成立的是(　　)
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
[答案]　D
[解析]　∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，
∴m∥l.
∵AB∥l，∴AB∥m.故A确定正确．
∵AC⊥l，m∥l，
∴AC⊥m，从而B确定正确．
∵A∈α，AB∥l，lα，∴B∈α.
∴AB⃘β，lβ.
∴AB∥β.故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立，故D不愿定正确．
二、填空题
3．已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：
①⇒a∥b；②⇒a∥b；③⇒α∥β；
④⇒a∥α；⑤⇒α∥β；⑥⇒a∥α.
其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．
[答案]　①④⑤⑥
[解析]　②中a，b的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交．
4．(文)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
[答案]　Q为CC1的中点
[解析]　当Q为CC1的中点时，QB∥PA．又D1B⃘平面PAO，QB⃘平面PAO，所以D1B∥平面PAO.QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.
(理)如图所示，ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当EFGH是菱形时，AEEB＝________.

[答案]　mn
[解析]　如图所示，设AE＝a，EB＝b，
由EF∥AC可得EF＝.
同理EH＝.∵EF＝EH，
∴＝，于是＝.
三、解答题
5．(文)如图，若PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF∥平面PCE
[解析]　取PC的中点M，连接ME、MF，则FM∥CD且FM＝CD．又∵AE∥CD且AE＝CD，
∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形．
∴AF∥ME，
又∵AF⃘平面PCE，EM平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
(理)如图，已知α∥β，异面直线AB，CD和平面α，β分别交于A，B，C，D四点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．

求证：(1)E，F，G，H共面；
(2)平面EFGH∥平面α.
[解析]　(1)∵E，H分别是AB，DA的中点，∴EH綊BD．同理，FG綊BD，∴FG綊EH.
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴E，F，G，H共面．
(2)平面ABD和平面α有一个公共点A，
设两平面交于过点A的直线AD′.
∵α∥β，∴AD′∥BD．
又∵BD∥EH，∴EH∥BD∥AD′.
∴EH∥平面α，同理，EF∥平面α，
又EH∩EF＝E，EH平面EFGH，EF平面EFGH，
∴平面EFGH∥平面α.
6．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝.
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积．

[解析]　(1)由题设知，BB1綊DD1，
∴BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1.
又BD⃘平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.
∵A1D1綊B1C1綊BC，∴A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥D1C．又A1B⃘平面CD1B1，
∴A1B∥平面CD1B1.
又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面ABCD，
∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高．
又∵AO＝AC＝1，AA1＝，
∴A1O＝＝1.
又∵S△ABD＝××＝1，
∴V三棱柱ABD－A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.