2022届数学一轮课时作业(理科)(浙江专用)-第四章-三角函数、解三角形-4-2.docx

第2讲　平面对量基本定理及坐标表示

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1．(2021·沈阳质量检测)已知在▱ABCD中，＝(2,8)，＝(－3,4)，则＝
(　　)
A．(－1，－12) B．(－1,12)
C．(1，－12) D．(1,12)
解析　由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋＝(－1,12)．
答案　B
2．(2022·福建卷)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是
(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
解析　由题意知，A选项中e1＝0，C，D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.
答案　B
3．(2022·台州质量检测)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的
(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析　由题意得a＋b＝(2,2＋m)，由a∥(a＋b)，得－1×(2＋m)＝2×2，所以m＝－6，则“m＝－6”是“a∥(a＋b)”的充要条件，故选A.
答案　A
4．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于
(　　)
A．－a＋b B.a－b
C．－a－b D．－a＋b
解析　设c＝λa＋μb，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，
∴∴∴c＝a－b.
答案　B
5.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且B＝2 P，则
(　　)

A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析　由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋ ＝＋(－)＝ ＋，所以x＝，y＝.
答案　A
二、填空题
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析　由于a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又由于u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，即10x＝5，解得x＝.
答案　
7．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋的值为________．
解析　＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝.
答案　
8．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.
解析　由题意，设e1＋e2＝ma＋nb.
又a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋
n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
又e1，e2是平面内一组基向量，
所以则
答案　　－
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解　ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
法一　当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ使ka＋b＝λ(a－3b)，由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)得，
解得k＝λ＝－，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)．
∵λ＝－<0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二　∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－，
此时ka＋b＝＝－(a－3b)．
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b， ＝c，且＝3c，＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴
解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)．
∴＝(9，－18)．
力气提升题组
(建议用时：35分钟)
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为
(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．30° B．60° C．90° D．120°
解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，整理得b2＋a2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，又0°<C<180°，∴C＝60°.
答案　B
12．(2021·湖州联考)在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝
(　　)
A．2 B. C．2 D．4
解析　由于|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
答案　A
13．已知向量＝(3，－4)，＝(0，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
解析　由题意得＝(－3,1)， ＝(2－m,1－m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则－3×(1－m)≠1×(2－m)，解得m≠.
答案　m≠
14.如图，已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．

解　如图所示，以A，B，C为顶点的平行四边形可以有三种状况：
①▱ABCD；②▱ADBC；③▱ABDC.设D的坐标为(x，y)，

①若是▱ABCD，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，
即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)，
∴∴x＝0，y＝－4.∴D点的坐标为(0，－4)(如图中所示的D1)．②若是▱ADBC，由＝，得
(0,2)－(－1，－2)＝(x，y)－(1,0)，
即(1,4)＝(x－1，y)，解得x＝2，y＝4.
∴D点的坐标为(2,4)(如图中所示的D2)．
③若是▱ABDC，则由＝，得
(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，
即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)．解得x＝－2，y＝0.
∴D点的坐标为(－2,0)(如图中所示的D3)，
∴以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．
15．(2022·浙江六校联考)如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，＝y，证明：＋是定值．
(1)解　＝＋＝＋λ＝＋λ(－)
＝(1－λ)＋λ.
(2)证明　一方面，由(1)，得
＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)＝＋.②
而，不共线，∴由①②，得
解得∴＋＝3(定值).
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