【2022届走向高考】高三数学一轮(北师大版)基础巩固：第2章-第9节-函数模型及其应用.docx

其次章　第九节

一、选择题
1．若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为(　　)

[答案]　B
[解析]　依据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图像为B．
2．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
A．100台　 B．120台
C．150台 D．180台
[答案]　C
[解析]　设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3000≥0，又∵x∈N*，∴x≥150.
3．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为(　　)
A．y＝x2　 B．y＝x2
C．y＝x2 D．y＝x2
[答案]　D
[解析]　y＝·x·x·sin60°＝x2.
(理)2010年7月1日某人到银行存入一年期款a元，若年利率为x，按复利计算，则到2021年7月1日可取款(　　)
A．a(1＋x)5元　 B．a(1＋x)6元
C．a＋(1＋x)5元 D．a(1＋x5)元
[答案]　A
[解析]　由于年利率按复利计算，一年后可取回a(1＋x)元，二年后可取回a(1＋x)2元，…，所以到2021年7月1日可取款a(1＋x)5.
4．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)

A．10元　 B．20元
C．30元　　 D．元
[答案]　A
[解析]　设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为S＝k2t，当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
5．(文)(原创题)《走向高考》系数丛书2021年的销量比2021的销量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是(　　)
A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的销量确定
[答案]　B
[解析]　(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2<0.22.故选B．
(理)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)
A．45.606　 B．45.6
C．45.56 D．45.51
[答案]　B
[解析]　依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
6．我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税，已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫作税率x%)，则每年销售量将削减10x万瓶，假如要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为(　　)
A．2　 B．6
C．8 D．10
[答案]　A
[解析]　依题意有：(100－10x)×70×≥112，
∴2≤x≤8.
二、填空题
7．某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米，一律收费8元)，若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价，若某乘客再与司机商定按四舍五入以元计费不找零钱，该乘客下车时乘车里程数为7.4，则乘客应付的车费是________元．
[答案]　15
[解析]　车费为8＋(7.4－3)×1.5＝14.6≈15(元)．
8．(2022·东三校联考)为了保证信息平安，传输必需使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，假如明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
[答案]　4
[解析]　依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.
9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，猜想六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
[答案]　20
[解析]　由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]×2≥7 000，
化简得(x%)2＋3·x%－0.64≥0，
解得x%≥0.2，或x%≤－3.2(舍去)．
∴x≥20，即x的最小值为20.
三、解答题
10．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完．
(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解析]　(1)当0<x<80，x∈N＋时，
L(x)＝－x2－10x－250
＝－x2＋40x－250；
当x≥80，x∈N＋时，
L(x)＝－51x－＋1 450－250
＝1 200－，
∴L(x)＝
(2)当0<x<80，x∈N＋时，
L(x)＝－(x－60)2＋950，
∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.
当x≥80，x∈N＋时，
L(x)＝1 200－≤1 200－2
＝1 200－200＝1 000，
∴当x＝，即x＝100时，
L(x)取得最大值L(100)＝1 000>950.
综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.

一、选择题
1．某厂有很多外形为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)

A．x＝15，y＝12　 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
[答案]　A
[解析]　由三角形相像得＝，得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
2．对函数f(x)＝3x2＋ax＋b作代换x＝g(t)，则总不转变f(x)值域的代换是(　　)
A．g(t)＝logt　 B．g(t)＝()t
C．g(t)＝(t－1)2 D．g(t)＝cost
[答案]　A
[解析]　只有A中函数的值域与f(x)中x的取值范围全都，即R，所以只有A中函数代换后f(x)值域不变．
二、填空题
3．司机酒后驾驶危害他人的平安，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量快速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度削减，为了保障交通平安，某地依据《道路交通平安法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过________h，才能开车？(精确到1h)
[答案]　5
[解析]　设xh后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/mL，则有0.3·()x≤0.09，即()x≤0.3，估算或取对数计算得5h后可以开车．
4．里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
[答案]　6　10 000
[解析]　本题考查应用数学解决实际问题的力气．
(1)M＝lg1 000－lg0.001＝3＋3＝6.
(2)设9级、5级地震最大振幅分别为A9，A5，则9＝lgA9－lgA0,5＝lgA5－lgA0，两式相减得4＝lgA9－lgA5＝lg，即＝104，所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．
三、解答题
5.据气象中心观看和猜想：发生于M地的沙尘暴始终向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试推断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，假如会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？假如不会，请说明理由．
[分析]　认真审题，精确     理解题意，建立函数关系．
[解析]　(1)由图像可知，当t＝4时，v＝3×4＝12，
∴s＝×4×12＝24(km)．
(2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2，
当10<t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10)＝30t－150；
当20<t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550.
综上可知s＝
(3)∵t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650.
t∈(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650.
∴当t∈(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650.
解得t1＝30，t2＝40，∵20<t≤35，∴t＝30，
所以沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．
6．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次．即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律进展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010？(精确到小时)(参考数据：lg3≈0.477，lg2≈0.301)
[解析]　现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，
1小时后，细胞总数为×100＋×100×2＝×100；
2小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
3小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
4小时后，细胞总数为××100＋××100×2＝×100；
…
可见，细胞总数y与时间x(小时)之间的函数关系为：
y＝100×()x，x∈N，
由100×()x>1010，得()x>108，
两边取以10为底的对数，得xlg>8，
∴x>，
∵≈≈45.45，
故经过46小时，细胞总数可以超过1010.