2021高考数学(文理通用)一轮课时作业42-直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

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课时提升作业(四十二)
直线与圆、圆与圆的位置关系
(45分钟　100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0有公共点,则实数m的取值范围是(　　)
A.m<1　　　　　　　　　B.1≤m≤121
C.m>121　　　　　　　　D.1<m<121
【解析】选B.若两圆有公共点,则两圆的位置关系为相切或相交,将m=1代入验证符合题意,故选B.
2.(2022·杭州模拟)圆x2+y2-2x+4y-20=0截直线5x-12y+c=0所得弦长为8,则c的值为(　　)
A.10 B.-68 C.12 D.10或-68
【解析】选D.由于圆x2+y2-2x+4y-20=0的圆心坐标为(1,-2),半径r=5,且与直线相交截得弦长为8,所以圆心到直线的距离d=3=|5×1-12×(-2)+c|52+(-12)2,解上式得c=10或-68.
3.(2021·广东高考)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是(　　)
A.x+y-2=0 B.x+y+1=0
C.x+y-1=0 D.x+y+2=0
【解析】选A.由题意知直线方程可设为x+y-c=0(c>0),则圆心到直线的距离等于半径1,即|0+0-c|12+12=1,c=2,所求方程为x+y-2=0.
4.直线y=kx+3与圆(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥23,则k的取值范围是(　　)
A.-34,0 B.-33,33
C.-3,3 D.-23,0
【解析】选B.如图,若|MN|=23,则由圆与直线的位置关系可知圆心到直线的距离满足d2=22-(3)2=1.由于直线方程为y=kx+3,
所以d=|k·2-3+3|1+k2=1,
解得k=±33.若|MN|≥23,
则-33≤k≤33.

5.圆x+122+(y+1)2=8116与圆(x-sinθ)2+(y-1)2=116(θ为锐角)的位置关系
是(　　)
A.外离 B.外切　　　　C.内切　　 D.相交
【解析】选D.两圆圆心之间的距离
d=sinθ+122+(1+1)2=sinθ+122+4,
由于θ为锐角,所以0<sinθ<1,12<sinθ+12<32,174<sinθ+122+4<254,所以172<d<52,又两圆的半径之和为52,两圆的半径之差的确定值为2,所以两圆相交.
6.(2021·陕西高考)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定
【思路点拨】利用点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系中的半径与距离,列出关系式,解之即可推断直线ax+by=1与圆O的位置关系.
【解析】选B.点M(a,b)在圆x2+y2=1外
⇒a2+b2>1.
圆心O(0,0)到直线ax+by=1的距离d=1a2+b2<1=圆的半径,故直线与圆相交.
7.(力气挑战题)从原点向圆x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为(　　)
A.π B.2π C.4π D.6π
【解析】选B.如图,圆x2+y2-12y+27=0可化为x2+(y-6)2=9,圆心坐标为(0,6),半径为3.在Rt△OBC中可得:∠OCB=π3,所以∠ACB=2π3,所以所求劣弧长为2π.
8.已知圆x2+y2+x-6y+3=0上的两点P,Q关于直线kx-y+4=0对称,且OP⊥OQ(O为坐标原点),则直线PQ的方程为(　　)
A.y=-12x+32
B.y=-12x+32或y=-12x+54
C.y=-12x+14
D.y=-12x+12或y=-12x+54
【解析】选B.由P,Q关于直线kx-y+4=0对称知直线kx-y+4=0过已知圆的圆心-12,3,则k=2,直线PQ的斜率kPQ=-12.
设直线PQ的方程为y=-12x+b,P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点的坐标是方程组
y=-12x+b,x2+y2+x-6y+3=0的解,消去y得
54x2+(4-b)x+b2-6b+3=0,
故x1+x2=-4(4-b)5,　①
x1x2=4(b2-6b+3)5,　②
由OP⊥OQ⇒x1x2+y1y2=0⇒x1x2+-12x1+b·-12x2+b=0,
54x1x2-b2(x1+x2)+b2=0,
将①,②代入得b=32或b=54.
所以直线PQ的方程为y=-12x+32或y=-12x+54.
二、填空题(每小题5分,共20分)
9.(2022·镇海模拟)若圆C:x2-2mx+y2-2my+2=0与x轴有公共点,则m的取值范围是　　　　.
【解析】依题设知:圆C:与x轴相交或相切,所以圆心(m,m)到直线y=0的距离小于或等于半径m2+m-2.即m≤m2+m-2,由题意知m≥0,解得:m≥2.
答案:m≥2
【加固训练】
当直线l:y=k(x-1)+2被圆C:(x-2)2+(y-1)2=5截得的弦长最短时,k的值为　　　　　.
【解析】直线过定点(1,2),且该点在圆内,则当直线与定点和圆心的连线垂直时得到的弦长最短,定点与圆心连线的斜率为1-22-1=-1,所以所求斜率k=1.
答案:1
10.设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为　　　　　　.
【解析】直线mx+ny-1=0与两坐标轴的交点坐标分别为1m,0,0,1n,又由于直线l被圆x2+y2=4截得的弦长为2,结合垂径定理得,1m2+n22+12=22,即1m2+n2=3.
所以S△AOB=12×1|m|×1|n|≥1m2+n2=3.
答案:3
11.(2022·大庆模拟)点P(x,y)满足:x2+y2-4x-2y+4≤0,则点P到直线x+y-1=0的最短距离是　　　　.
【解析】由于x2+y2-4x-2y+4≤0表示以(2,1)为圆心,1为半径的圆及其圆的内部,
又圆心(2,1)到直线x+y-1=0的距离d=2+1-12=2>1,
所以点P到直线x+y-1=0的最短距离为2-1.
答案:2-1
12.(力气挑战题)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c =0的距离为1,则实数c的取值范围是　　　　.
【解析】由题意可知,圆上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,该圆的半径为2,即圆心O(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离d<1,即0≤|c|13<1,
所以-13<c<13.
答案:(-13,13)
【加固训练】
直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于不同的两点A,B,O是坐标原点,|OA→+OB→|≥|AB→|,那么实数m的取值范围是　　　　　　.
【解析】将直线方程代入圆的方程得2x2+2mx+m2-2=0,Δ=4m2-8(m2-2)>0得m2<4,即-2<m<2.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m,x1x2=m2-22,|OA→+OB→|≥|AB→|,即|OA→+OB→|≥|OB→-OA→|,平方得OA→·OB→≥0,即x1x2+y1y2≥0,即x1x2+(m+x1)(m+x2)≥0,即2x1x2+m(x1+x2)+m2≥0,即2×m2-22+m(-m)+m2≥0,即m2≥2,即m≥2或m≤-2.综合知-2<m≤-2或2≤m<2.
答案:-2<m≤-2或2≤m<2
【一题多解】本题还可以按如下方法解决.

依据向量加减法的几何意义得,|OA→+OB→|≥|AB→|等价于向量OA→,OB→的夹角为锐角或者直角,由于点A,B是直线x+y+m=0与圆x2+y2=2的交点,故只要圆心到直线的距离大于或者等于1即可(保证相交),也即m满足1≤|m|2<2,即-2<m≤-2或2≤m<2.
三、解答题(13题12分,14～15题各14分)
13.已知圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,圆O2的圆心坐标为(2,1).若两圆相交于A,B两点,且|AB|=4,求圆O2的方程.
【解析】设圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
由于圆O1的方程为x2+(y+1)2=6,
所以直线AB的方程为4x+4y+r2-10=0.
圆心O1到直线AB的距离d=|r2-14|42,
由d2+22=6,得(r2-14)232=2,
所以r2-14=±8,r2=6或22.
故圆O2的方程为(x-2)2+(y-1)2=6或(x-2)2+(y-1)2=22.
【方法技巧】求解相交弦问题的技巧
把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0　①
(1)当两圆C1,C2相交时,方程①表示两圆公共弦所在直线的方程.
(2)当两圆C1,C2相切时,方程①表示过圆C1,C2切点的公切线的方程.
14.已知直线l:y=x+m,m∈R.
(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,求该圆的方程.
(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′,问直线l′与抛物线C:x2=4y是否相切?说明理由.
【解析】(1)依题意,点P的坐标为(0,m).
由于MP⊥l,所以0-m2-0×1=-1,
解得m=2,即点P的坐标为(0,2).
从而圆的半径r=|MP|=(2-0)2+(0-2)2=22,
故所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
(2)由于直线l的方程为y=x+m,
所以直线l′的方程为y=-x-m.
由y=-x-m,x2=4y,
得x2+4x+4m=0.
Δ=42-4×4m=16(1-m).
①当m=1,即Δ=0时,直线l′与抛物线C相切;
②当m≠1,即Δ≠0时,直线l′与抛物线C不相切.
综上,当m=1时,直线l′与抛物线C相切;当m≠1时,直线l′与抛物线C不相切.
【一题多解】本题(1)还可以按如下方法解决:
设所求圆的半径为r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2.
依题意,所求圆与直线l:x-y+m=0相切于点P(0,m),
则4+m2=r2,|2-0+m|2=r,解得m=2,r=22.
所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8.
15.(2021·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线段长为23.
(1)求圆心P的轨迹方程.
(2)若P点到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.
【思路点拨】(1)设出点P的坐标与圆P的半径,利用弦长、弦心距、半径之间的关系求得点P的轨迹方程.
(2)利用已知条件求得点P的坐标,从而求出半径,写出圆的方程.
【解析】(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2.
从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0).由已知得|x0-y0|2=22.
又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1,
由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.
此时,圆P的半径r=3.
由x0-y0=-1,y02-x02=1,得x0=0,y0=1,
此时,圆P的半径r=3.
故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.
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